Sprawdzenie - rówanie trygonometyczno - wykładnicze.

[franek67]

Proszę o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \tg \left( 4^{x}+ \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin4^{\left( x + \frac{1}{2}\right) }=0}\)

\(\displaystyle{ - \frac{\cos 4^{x}}{\sin 4^{x}} + 2 \sin \left( 2^{2x+1}\right) } = 0}\)

\(\displaystyle{ - \frac{\cos 2^{2x}}{\sin 2^{2x}} + 2 \sin \left( 2^{2x} + 2^{2x}\right) } = 0}\)

\(\displaystyle{ t=2^{2x} > 0}\)

\(\displaystyle{ - \frac{\cos t}{\sin t} + 2 \sin \left(2t) } = 0}\)

\(\displaystyle{ \cos t = 2 \cdot\left( 2 \sin t \cos t\right) \sin t}\)
\(\displaystyle{ \cos t = 4 \sin^{2} t \cos t}\)

\(\displaystyle{ cos t = 0 \vee \sin t = \pm \frac{1}{2}}\)
Zatem:

\(\displaystyle{ t \in \left( \frac{\pi}{2} + k \pi \right) \cup \left( \pm \frac{\pi}{6} + k \pi\right)}\)

\(\displaystyle{ t= \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k}\)

\(\displaystyle{ x = \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k}\)

[chris_f]

Między drugą a trzecią linijką masz błąd (może nie tyle błąd, ile dziwne przekształcenie):
w drugiej jest wyrażenie
\(\displaystyle{ 2\sin\left(2^{2x+1}\right)}\)
a w trzeciej zapisałeś
\(\displaystyle{ 2\sin\left(2^{2x}+2^{2x}\right)}\)

Chyba, że zrobiłeś dziwny przeskok, do przodu i do tyłu, bo
\(\displaystyle{ 2^{2x+1}=2^{2x}\cdot2=2^{2x}+2^{2x}}\), po to, żeby znowu wrócić do do \(\displaystyle{ 2\cdot2^{2x}}\)

Edit. Faktycznie wyjdzie na to samo, tyle, że osiągnięte jakimś dziwnym sposobem.

[cosinus90]

chris_f, oczywiście że to jest prawdą.

[franek67]

Dziękuję za pomoc, przydatne forum do uczenia się matmy
Czyli dobrze ? Nie wierzę - siedziałem na tym (jeszcze patrząc na inne ponad godzinę). \(\displaystyle{ Wolphram Alpha}\) podał mi inny wynik (ale bardzooo skomplikowany, więc podejrzewałem, że i nawet komputer sobie mógł nie poradzić z tym zadaniem matematycznym). A tu proszę - wszystko dobrze.
Co do tego przekształcenia, liczyłem to na kartkach w kilku wersjach i potem tak przepisałem pozatym, wzięło się to stąd że nie znam wzoru na pamięć na \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha}\) ale za to znam wzór na \(\displaystyle{ \sin ( \alpha + \beta )}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\), czyli \(\displaystyle{ \sin( \alpha + \alpha )}\)
A z dziedzinami wszystko ok


Pytanie dodatkowe, oblicz \(\displaystyle{ \tg 4^{x}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ x = \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k}\)
Chyba to nie będzie \(\displaystyle{ \tg 4^{ \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k}}\)

[Kartezjusz]

Tak, będzie to, ale aż prosi się o uproszczenia. Korzystasz z odpowiednich praw na potęgach, i że funkcja wykładnicza i logarytmiczna o tych samych podstawach są funkcjami wzajemnie odwrotnymi, czyli ich złożenie daje identyczność.

[franek67]

Dziękuję , czyli coś takiego:
\(\displaystyle{ \tg 4^{ \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k} = \tg 2^{ 2 \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k} = \tg 2^{ \log _{2} \left( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k\right)^2 } = \tg \left( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k\right)^2}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ k \in N}\)
I już to koniec (\(\displaystyle{ \tg \alpha ^{2}}\) nie da się uprościć ?)

[Kartezjusz]

Chodziło Ci pewnie o sprawdzenie równania. Teraz rzeczywiście nic się nie uprości ,ale zrobiłeś błąd między dwiema ostatnimi linijkami pierwszego twojego postu.\(\displaystyle{ t=2^{2x} \Rightarrow \log _{2}t =2x}\). Zapomniałeś o tej dwójce na końcu.

[franek67]

Dziękuję po raz kolejny:
\(\displaystyle{ t=2^{2x} \Rightarrow \log _{2}t =2x}\)
\(\displaystyle{ log _{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} k \right) =2x}\)
Zatem: \(\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k}\)
\(\displaystyle{ \tg 4^{ \frac{1}{2} \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k} = \tg 2^{ 2 \cdot \frac{1}{2} \log _{2} \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k} = \tg 2^{ \log _{2} \left( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k\right) } = \tg \left( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3} k\right)}\)
Czyli: \(\displaystyle{ 4^{x}= \pm tg \frac{\pi}{6} = \pm \frac{ \sqrt{3} }{3} \vee 4^{x}=0}\)

Ostateczna odpowiedź:
\(\displaystyle{ 4^{x} \in \left\{ \pm \frac{ \sqrt{3} }{3} , 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ Teraz \ dobrze}\)

[Kartezjusz]

Od kiedy \(\displaystyle{ 4^{x}}\) może przyjąć wartość \(\displaystyle{ 0}\)?

[franek67]

\(\displaystyle{ x \rightarrow - \infty}\)
No tak na serio to nie może. Dzięki po raz kolejny.
Czyli: \(\displaystyle{ 4^{x} = \pm \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
A wszystko pozostałe dobrze ?