Rówanie trygonometryczno-wykładnicze.

[franek67]

Witam,
Mam problem z tym zadaniem:
\(\displaystyle{ 9 ^{\ctg ^{2}\left( \pi - x\right) }= \left( \frac{1}{3}\right)^{ \sin \left( 2x- \frac{\pi}{2}\right)}}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( 5;10\right)}\).
Proszę o pomoc.

[Kartezjusz]

a\(\displaystyle{ g}\) co to jest?

[franek67]

Już poprawiłem, przepraszam za zamieszanie, miało być 9 (sprawdzałem, ale jestem dyslektykiem i mylę...). Znaczy rozpisałem sobie wszystko na potęgi liczby 3 i \(\displaystyle{ \sin\left( 2x- \frac{\pi}{2} \right)=- \cos 2x}\) Ale to nic nie pomogło
I po co ten przedział dla \(\displaystyle{ x}\) ?

[Snayk]

\(\displaystyle{ -\sin(x)=\sin(-x)}\)
\(\displaystyle{ \sin( \frac{\pi}{2} - \alpha )=\cos(\alpha)}\).

[franek67]

EDIT: Dziękuję.
Znaczy wyszło coś takiego:
\(\displaystyle{ 3^{ 2 \ctg ^{2}x } = 3 ^{- \cos 2x}}\)
\(\displaystyle{ 2 \ctg ^{2}x=- \cos 2x}\)
Tylko co dalej
Po rozpisaniu na:
\(\displaystyle{ 2 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=- \cos 2x}\)
Dobrze dotąd ? Tylko co dalej ?
I po co ten przedział dla \(\displaystyle{ x}\)
Coś źle przepisałem ?

[Kartezjusz]

Użyj wzoru na cosinus podwojonego kąta i z jedynki trygonometrycznej, aby \(\displaystyle{ \sin ^{2}x}\) zapisać przy pomocy \(\displaystyle{ \cos ^{x}}\). Potem podstaw\(\displaystyle{ \cos ^{2}x=t}\)

[franek67]

Dzięki. Czyli dotąd mam dobrze ?
Kurczę, bardzo trudne, mam jeszcze 3 takie zadanka, ale zanim wezmę się za nie to zacznę od jakiś prostszych... (żeby poćwiczyć podstawowe przekształcenia). No nic, pewnie następne opublikuję za jakieś 24h
Mamy kolejno:
\(\displaystyle{ 2 \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x} = \sin ^{2} x - \cos ^{2} x \\
2\sin ^2 x = \left( \sin ^{2} x \right)\left( \cos ^2 x\right) - \cos ^{4} x}\)
I co teraz ? Dobrze ?
Po użyciu jedynki trygonometrycznej i uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \cos ^{4}x + \cos ^2x - 2 = 0 \\
t=\cos ^{2} x \\
t^{2}-t=0}\)
stąd
\(\displaystyle{ t=1 \\
1=\cos ^{2} x \\
x=0 \vee x= \pi}\)
Dobrze ?

Potem podstaw \(\displaystyle{ \cos ^{x}=t}\)

?

[Kartezjusz]

Poprawione . Skąd masz czwartą linijkę od końca?

[franek67]

Przepraszam, uczę si dopiero LATex-a powinno być: \(\displaystyle{ t^{2}+t-2=0}\)
Czyli wszystko dobrze ?

[Snayk]

Ok prawie dobrze. Wynik miał być z danego przedziału ale najważniejsze jest.

[franek67]

Dzięki.
To już wiem, po co jest ten przedział. Po to aby zabrać studentowi kolejny punkt (żart)
Zatem: \(\displaystyle{ x=2 \pi \vee x= 3 \pi}\)
Teraz wszystko dobrze ? Bo podobno dostaniemy coś podobnego.

-- 25 paź 2013, o 20:01 --

Po paru godzinach zrobiłem to samo zadanie jeszcze raz (żeby nie zapomnieć ) i wyszedł mi inny wynik...
Chyba się wkradł błąd (i nikt nie zauważył ):
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}\right)^{ \sin \left( 2x- \frac{\pi}{2}\right)}=3^{- \sin \left( 2x- \frac{\pi}{2}\right)}=3^{\cos 2x} \neq 3^{-\cos 2x}}\)
Czyli będziemy mieć:
\(\displaystyle{ 2 \ctg ^{2} = \cos 2x}\)

Dobrze zauważyłem

-- 25 paź 2013, o 20:02 --

Co o tym myślicie ?

[Snayk]

Zauwazyles dobrze minusy sie znoszą

[franek67]

Jak tera jest dobrze, no to jedziemy dalej:
\(\displaystyle{ 2 \ctg ^{2} x= \cos 2x}\)

\(\displaystyle{ 2 \frac{\cos ^{2} x}{\sin {x}}=1- 2 \sin ^2 x}\)

\(\displaystyle{ 2 \cos ^{2} x = \left( 1-2 \sin ^{2} x\right) \sin ^{2} x}\)

\(\displaystyle{ \sin ^2 x = t \in \left( 0, 1 \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ 2 \left( 1 - t\right) = \left( 1 - t \right) t}\)

\(\displaystyle{ t=1}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} + k \pi}\)

Teraz dobrze

Pytanie dodatkowe jakie wartości przyjmuje \(\displaystyle{ \sin x}\)
\(\displaystyle{ \left\{ 1, -1\right\}}\) ?

[Snayk]

W piątej linijce od góry zgubiłeś dwójkę.
Zbiór wartości \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sin \left( x \right)}\) to zbiór \(\displaystyle{ Z _{f} \in \left\langle -1,1 \right\rangle}\)

[franek67]

Nie widzę, może chodzi Ci o uwzględnianie (nie napisałem, a powonieniem moja wina ) \(\displaystyle{ \sin^2 x = t \in \left( 0, 1 \right\rangle}\)
A mi chodzi o zbiór wartości dla rozwiązania tego równania (też powinno się napisać :-/ ).

EDIT (mam mój błąd!):
\(\displaystyle{ 2 \left( 1 - t\right) = \left( 1 - 2t \right) t}\)

\(\displaystyle{ t= 1 \vee t= \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin x \in \left\{ \pm \frac{1}{2} , \pm 1 \right\}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{6} + \frac{ \pi}{3} k}\)

Dobrze