zamiana na postać iloczynową

[Fritillaria]

Chciałabym poprosić o sprawdzenie kilku przykładów:

\(\displaystyle{ \tg \alpha - \ctg \alpha = \frac{\sin ^{2} \alpha - \cos ^{2} \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha } = \frac{2\left[ \sin ^{2} \alpha - \sin ^{2} \left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) \right]}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }}\)

I ten nawias z licznika rozpisałam jeszcze ze wzoru skróconego mnożenia.


\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha - \sin ^{2} \beta = \left( \sin \alpha - \sin \beta \right) \left( \sin \alpha + \sin \beta \right) = 4 \cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos ^{2} \frac{ \alpha - \beta }{2} \sin \frac{ \alpha + \beta }{2}}\)

I w tym przykładzie wydaje mi się, że będzie się dało to jeszcze bardziej skrócić, tylko nie mam pomysłu jak, więc liczę na pomoc.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \tg\alpha-\ctg\alpha=\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{-\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha}=-2\ctg 2\alpha}\)

W drugim przykładzie powinno być \(\displaystyle{ (\sin\alpha-\sin\beta)(\sin\alpha+\sin\beta)=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\). Pogrupuj odpowiednio czynniki i skorzystaj ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

[Fritillaria]

Ojej, źle zapisałam wzór i zrobiłam na nim wszystkie zadania.. No, ale nie ważne. Mam jeszcze pytanie, jak zostanie mi na przykład (wiem, że wyjdzie inaczej, ale nie chce mi się pisać całości) postać \(\displaystyle{ \sin 2 \cdot \frac{\alpha-\beta}{2}}\) To mogę te dwójki skrócić, prawda?

EDIT. Mam jeszcze pytanie w jaki sposób zamienić na postać iloczynową tę sumę:

\(\displaystyle{ 1 + \sin \alpha + \cos \alpha}\)

[lukasz1804]

Możesz skrócić te dwójki.

Drugi spróbuj z jedynki tryg. i wzorów na sinus/kosinus podwojonego kąta: \(\displaystyle{ \sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}}\)

[Fritillaria]

Szczerze mówiąc nie rozumiem jak Ty to zapisałeś, mógłbyś mi wytłumaczyć?

[lukasz1804]

Potraktowałem kąt jako podwojenie kąta połówkowego. I dalej te tożsamości, o których wyżej wspomniałem.

[Fritillaria]

Ogólnie nie poznaliśmy w szkole definicji kątów połówkowych i jak teraz na nie patrzę to jeszcze bardziej nie wiem jak to rozwiązać. Mógłbyś mi to rozpisać (albo wymyślić jakiś inny sposób rozwiązania bez znajomości owych kątów)?

[lukasz1804]

Tu nie trzeba wiele umieć. Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \alpha=2\cdot\frac{\alpha}{2}}\). Wobec tego kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) można traktować jako podwojenie kąta \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\).

Jedynkę trygonometryczną można zastosować dla dowolnego kąta, w szczególności dla kąta o mierze \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\). Mamy zatem

\(\displaystyle{ 1=\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}\).

Dalej ze wzorów na sinus i kosinus podwojonego kąta mamy

\(\displaystyle{ \sin\alpha=\sin\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\cos\left(2\cdot\frac{\alpha}{2}\right)=\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}}\).

Stąd \(\displaystyle{ 1+\sin\alpha+\cos\alpha=\left(\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)=2\cos^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)}\).
I już mamy postać iloczynową.

[Fritillaria]

Jak zapisałeś, to jest takie proste, że aż wstyd, że sama tego nie wymyśliłam.
Dziękuję bardzo za pomoc!