cos(z) ograniczenia

[kfc]

sprawdz czy zbior jest ograniczony jak tak to podaj jego ograniczenia \(\displaystyle{ \cos (z)}\)dla z nalezacych do całkowitych

[bartek118]

Oczywiście, że tak: dla \(\displaystyle{ z}\) całkowitych mamy \(\displaystyle{ | \cos z | \leq 1}\). Nawet dla rzeczywistych.

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ A=\{\cos z\,:\,z\in\ZZ\}}\). Mamy \(\displaystyle{ \sup A=1}\), \(\displaystyle{ \inf A=-1}\). Oczywiście \(\displaystyle{ z\in\ZZ\implies -1\le\cos z\le 1}\), więc mamy ograniczenia. Celem pokazania, że jedynka jet kresem górnym, należy sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ k,m}\) takie, że \(\displaystyle{ |2k\pi-m|<\varepsilon}\). Następnie korzystamy z jednostajnej ciągłości cosinusa. A dokładniej, z warunku Lipschitza: \(\displaystyle{ |\cos\alpha-\cos\beta|\le|\alpha-\beta|}\). Podobnie pokazujemy też, że kresem dolnym jest \(\displaystyle{ -1}\). Odpowiednia nierówność to wtedy \(\displaystyle{ |(2k+1)\pi-m|\le\varepsilon}\).

Wspomniany lemat wynika np. z tego, że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2\pi}\) są niewspółmierne. Mamy mianowicie takie twierdzenie, że jeśli liczby\(\displaystyle{ a,b}\)są niewspółmierne, to zbiór \(\displaystyle{ \{ma+nb:m,n\in\ZZ\}}\) jest gęsty na prostej.

Oj, za dużo powiedziałem. Chodziło tylko o ograniczenia. Ja wykazałem dużo, dużo więcej.