Równanie trygonometryczne (sinx+cosx).

[bogosekkk]

Witam, mam mały problem. Rozwiązałem zadanie i według mnie wszystko jest okej, ale rozwiązanie mi wychodzi inne od prawidłowego. Możecie sprawdzić gdzie jest błąd?

\(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin{x} + \sqrt{1-\sin ^{2}} x= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin ^{2}}= \sqrt{2}-\sin{x}}\) /kwadratuje

\(\displaystyle{ 1-\sin \sqrt{2}=2-2 \sqrt{2} \sin{x} +\sin^{2}x}\)

\(\displaystyle{ 2\sin^{2}x -2\sqrt{2}\sin{x}+1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta_{\sin{x}}=0}\)

\(\displaystyle{ \sin{x}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x= \frac{3}{4}\pi + 2k\pi, k \in C}\)
A w odpowiedziach i jak patrzyłem na wolframie, to podane jest tylko, że \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4}+2k\pi}\)

[bakala12]

Podnoszenie do kwadratu jest operacją która może dawać dodatkowe rozwiązania, które nie spełniają równania wyjściowego. Ja proponuję zrobić tak:
\(\displaystyle{ \sin x +\cos x =\sin x+ \sin\left( \frac{\pi}{2}-x\right)=...}\)
I tu zastosuj wzór na sumę sinusów.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}}\)

A może by tak podnieść obustronnie do kwadratu:

\(\displaystyle{ (\sin{x} + \cos{x})^2 = 2}\)

\(\displaystyle{ 1+sin{2x} =2}\)

itd. -- 18 paź 2013, o 21:15 --Czyli:

\(\displaystyle{ sin{2x} =1}\)

\(\displaystyle{ 2x= \frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

No to

\(\displaystyle{ x=?}\)