arcusy - dowodzenie

[gatek]

Zadanie brzmi tak:

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \arcsin x=\arccos \sqrt{1-x ^{2} }}\)

Pomoże ktoś? Nie bardzo wiem jak to ugryźć

[chris_f]

Ja zrobiłbym to tak:
wszystko na jedną stronę, oznaczyć to jako funkcję \(\displaystyle{ x}\)-a policzyć pochodną, która wyjdzie równa zero czyli funkcja jest stała i sprawdzić, np. dla \(\displaystyle{ x=0}\), ze jest to funkcja zerowa.

[gatek]

hmm, a coś bez pochodnych. nie miałam jeszcze tego

[bakala12]

Podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin t}\)

[gatek]

ok, ale i tak nie bardzo mi to pomogło. Co dalej z cosinusem?

[bakala12]

Jedynka trygonometryczna?

[gatek]

czyli wtedy miałabym
według tego co powiedziałeś
\(\displaystyle{ \arcsin \left( \sin t \right) =\arccos \sqrt{1-\sin ^{2}x } \\
\arcsin \left( \sin t \right) =\arccos \left( \cos x \right)}\)

i co z tym dalej ?

[bakala12]

Definicje funkcji cyklometrycznych znasz?

[gatek]

\(\displaystyle{ arc \sin x=y \Leftrightarrow x=\sin y}\) i tak samo dla cos
ale jakoś nie bardzo wiem jak to podstawić:

To będzie
\(\displaystyle{ arc \sin (\sin t)=y \Leftrightarrow \sin y= \sin t}\) ?? chyba nie bardzo. a cos to już wgl nie wiem jak

[bakala12]

Funkcja odwrotna do sinusa to arcus sinus. Zatem
\(\displaystyle{ \arcsin\left( \sin t\right)=t}\)

[gatek]

czyli będzie \(\displaystyle{ arc \sin (\sin t)=arc \cos(\cos t) \Leftrightarrow t=t}\)czyli tożsamość
??

[bakala12]

Nom. Tylko jeszcze by się przydało upewnić czy wiesz dlaczego można legalnie podstawić \(\displaystyle{ x=\sin t}\) i wszystko będzie wtedy dobrze.

[gatek]

hmm, to na pewno nie będzie poprawne, ale dzisiaj z koleżanką na zajęciach doszłyśmy do wniosku że jak nie wiadomo co można zrobić to się podstawia coś za coś żeby się dało podstawić

[bakala12]

Dziedzina arcusa to \(\displaystyle{ \left[ -1;1\right]}\) zaś \(\displaystyle{ \sin t}\) przyjmuje dowolną wartość z tego przedziału. Zatem podstawienie jest legalne.