Rownanie trygonometryczno-logarytmiczne.

[franek67]

Proszę o pomoc, nawet nie mam zielonego pojęcia jak go zacząć:
\(\displaystyle{ \cos \left( \log _{9} x^{4}\right) - 3\sin \left( \frac{ \pi }{2} + \log _{3} x\right) = \cos \left( \log _{ \sqrt{3} }1\right)}\)

Pozdrawiam.

[wujomaro]

Prawą stronę możesz już wyznaczyć.
Potem podstaw \(\displaystyle{ \log_{3}x=t}\)
Pozdrawiam!

[franek67]

Proszę o znalezienie błędu w moim rozwiązaniu zadania (Wolfram Alpha podaje mi inaczej):
\(\displaystyle{ \cos \log _{9}x^{4} - 3 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \log_{3} x\right) = \cos \log_{ \sqrt{3} }1}\)
Zmieniamy podstawy logarytmów (pierwszy składnik sumy po lewej stronie) na takie same, korzystamy ze wzoru redukcyjnego (drugi składnik sumy). Zauważamy zależność do potęgi zero po prawej stronie.
\(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2} \log _{3}x^{4} - 3 \cos \log_{3} x= 0}\)
Przenosimy potęgę przed logarytm (pierwszy składnik sumy) i wymnażamy przez pól.
\(\displaystyle{ \cos 2 \log _{3}x - 3 \cos \log_{3} x= 0}\)
Niech: \(\displaystyle{ t=\log_{3} x}\) , stąd:
\(\displaystyle{ \cos 2t - 3 \cos t = 0}\)
Wiadomo, że: \(\displaystyle{ \cos t = 2 cos^{2} t -1}\), stąd:
\(\displaystyle{ 2 \cos^{2} t - 3 cos t - 1= 0}\)
I już Walphram Alpha pokazuje mi, że mam błąd...

Proszę o pomoc.

[wujomaro]

Przepraszam, że odpowiadam dopiero teraz, ale jakoś nie zauważyłem Twojej odpowiedzi.
Błąd popełniasz już na początku po prawej stronie. Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \cos \log_{\sqrt{3}}1= \cos 0 = 1}\)
Pozdrawiam!

[Gouranga]

dalsze rachunki są dobre, w sensie przekształcanie lewej strony, tylko ten \(\displaystyle{ \cos0}\) na początku masz źle

[lukasburza]

Powinno być raczej:
\(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2} \log _{3}x^{4} + 3 \cos \log_{3} x= 2}\)
dodana wartość \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) zmienia znak przy zmianie na cosinus