Znaleźć wzór funkcji odwrotnej

[krystian1863]

\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\cos 2x , x \in \left\langle \frac{ \pi }{2} , \pi \right\rangle}\)

Próbuję narysować \(\displaystyle{ \cos 2x , x \left\langle \frac{ \pi }{2} , \pi \right\rangle}\) i \(\displaystyle{ \arccos 2x}\) potem \(\displaystyle{ y=x}\) i zobaczyc wykres f odwrotnej do \(\displaystyle{ \cos 2x}\) , ale nie jest on podobny do \(\displaystyle{ \arccos 2x}\) , więc nie wiem jak to zrobić.

[chris_f]

Mamy że
\(\displaystyle{ y=\cos2x}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \arccos y=2x}\)
\(\displaystyle{ x=\frac12\arccos y}\).
To już jest wzór funkcji odwrotnej, aby wrócić do typowych oznaczeń, zamieniamy ze sobą \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) dostając
\(\displaystyle{ y=\frac12\arccos x}\).
Dziedzinę funkcji odwrotnej łatwo ustalisz, będzie to zbiór wartości funkcji arcus cosinus w przedziale od \(\displaystyle{ \pi}\) do \(\displaystyle{ 2\pi}\).

[krystian1863]

A jak to zrobić tak jak zacząłem na wykresach nie widzę zależności między f odwrotną a \(\displaystyle{ arccosx}\) ,a dokładnie \(\displaystyle{ \frac{1}{2} arccosx}\)

poza tym, nie rozumiem jak dojśc do dziedziny tak jak napisałeś, przecież zbiór wartości \(\displaystyle{ arccox <0, \pi >, D \in <-1,1>}\)
więc jak okreslic dziedzinę dla tego co podałes.

[chris_f]

Widzę, że założyłeś kolejny temat z tym samym zadaniem (co nie jest dobrze widziane).

Sposób na znalezienie wzoru funkcji odwrotnej podałem Ci powyżej.

Zabawy z wykresami (odbijanie względem prostej \(\displaystyle{ y=x}\)) są przydatne, ale nie dają wzoru. Do tego dochodzi problem różnowartościowości.
Tak jest w Twoim przykładzie, bo aby zapewnić sobie różnowartościowość funkcji \(\displaystyle{ \cos2x}\) ograniczono dziedzinę do przedziału \(\displaystyle{ \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]}\). Czyli z tego pofalowanego wykresu funkcji cosinus nie wybrano tej "pierwszej" falki tylko drugą.
Odbijając zatem ten fragment wykresu \(\displaystyle{ \cos2x}\) nie dostaniesz wykresu \(\displaystyle{ \frac12\arccos x}\) tylko przesunięty fragment.

Zrób zresztą taki eksperyment. Odbij cały wykres \(\displaystyle{ \cos2x}\), nie dostaniesz wtedy wykresu funkcji. Dopiero wybranie fragmentu tego wykresu (tam gdzie funkcja jest różnowartościowa) da wykres funkcji odwrotnej. Po prostu przy definiowaniu funkcji odwrotnej do cosinusa przyjęto (i to można znaleźć w tablicach), że bierze się ten kawałek z przedziału \(\displaystyle{ [0,\pi]}\), ale jak widać można wybrać inny fragment.

[krystian1863]

Rozumiem definicję dlatego rysowałem wykres tylko w narzuconym przedziale. Ostatecznie wyszedł mi wzór \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \arccos x + \pi , x \in \left\langle -1,1 \right\rangle}\), czy to by się zgadzało ?

Jesli nie to pokaż jak ustalasz dziedzinę dla \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\arccos x}\) , jesli to jest koncowy wzór. Dzięki za pomoc i sorka za double posta ale już mnie wnerwiało te zadanie.

[chris_f]

Dodanie tego \(\displaystyle{ \pi}\) odpowiada właśnie wybraniu drugiego łuku z odbitego wykresu funkcji \(\displaystyle{ \cos2x}\).

Nie wiem skąd wziął Ci się tam minus.

Dziedziną oczywiście będzie przedział \(\displaystyle{ [-1,1]}\) - to jest tzw. dziedzina naturalna.

Ustalanie wzoru na podstawie wykresu jest rzeczą bardzo problematyczną. Po ustaleniu, czy w danej dziedzinie funkcja jest różnowartościowa używamy metody takiej jak wcześniej napisałem.
Wykres jest tu tylko rzeczą pomocniczą, ma pokazać jedynie jaka jest zależność pomiędzy wykresem funkcji, a wykresem funkcji odwrotnej - ale jest to tylko pewna ilustracja graficzna, nic więcej.

[krystian1863]

Minus mi wynikł z tego, ze po narysowaniu wykresu \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \arccos x}\) i wykresu f odwrotnej do \(\displaystyle{ \cos 2x}\) aby te wykresy się pokryły to muszę odbić \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \arccos x}\) względem osi \(\displaystyle{ x}\) i przesunąć o \(\displaystyle{ \pi}\) stąd \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} \arccos x + \pi}\)