Złożenie rozwiązania z nierównością trygonometryczną

[zwierze]

Witam. Mam taki jeden mały problem. Muszę złożyć rozwiązanie równania:

\(\displaystyle{ (\sin (x))^{2} - \sin (x) - 1 < 0}\) ze zbiorem: \(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{ \pi }{6} + 2k \pi ; \frac{7 \pi }{6} + 2k \pi \right)}\)

Nie mam pojęcia gdyż rozwiązaniem nierówności jest zbiór z niewymiernymi pierwiastkami. Jeśli nie da się tego zrobić, to doradźcie mi przynajmniej jak to zapisać żeby miało ręce i nogi?

[piasek101]

Chcesz częęść wspólną ? Tutaj w podanym przedziale też masz niewymierne i znasz wartości sinusów tych kąątów.

[zwierze]

Tak chcę część wspólną(iloczyn) tych zbiorów. Masz rację, znam wartości sinusów tych kątów, ale co mi to daje jak ja nie umiem zapisać rozwiązań tej nierówności w formie \(\displaystyle{ x_0 + k\pi}\) tak żeby to jakoś wygladało. Możecie mi jakoś tak łopatologicznie to wyjaśnić? Byłbym wdzięczny

[Dilectus]

Podstaw \(\displaystyle{ t= \sin(x)}\)

dostaniesz nierówność kwadratową

\(\displaystyle{ t^2-t-1<0}\)

Rozwiąż ją, wróć do starych zmiennych i skojarz z przedziałami, do których ma należeć \(\displaystyle{ x}\)

Podpowiem:

\(\displaystyle{ t \in \left( \frac{1- \sqrt{5} }{2}, \ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \right)}\)

[zwierze]

No tak, to dokładnie zrobiłem, z tym że prawy przedział trzeba ograniczyć do \(\displaystyle{ 1}\), bo \(\displaystyle{ \sin x}\) ma przedział od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) wiec zmienna \(\displaystyle{ t}\) również. Natomiast, jak ja mam ten pierwiastek zamienić na jakiś konkretny argument na osi \(\displaystyle{ x}\)? Tego nie ogarniam po prostu.

[Dilectus]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ -1<\frac{1- \sqrt{5} }{2}<- \frac{1}{2}}\)

zaś

\(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2}>1}\)

spróbuj określić, sinusowi jakiego ułamka liczby \(\displaystyle{ -\pi}\) jest bliska liczba \(\displaystyle{ \ \frac{1- \sqrt{5}}{2}}\)

Szukaj w pobliżu \(\displaystyle{ -\frac{2}{3} \pi}\)

[zwierze]

Jak tak sobie rozpisałem, to zauważyłem że gdy jest spełniony ten mój przedział, to spełniona jest zawsze moja nierównośc, to prawda? Bo nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ x}\) większych od \(\displaystyle{ -0,61}\) a przedział jest spełniony dla \(\displaystyle{ x}\) większych od \(\displaystyle{ -0,5}\). Natomiast oba przedziały są ograniczone do \(\displaystyle{ 1}\). Zatem rozwiązaniem jest tak naprawdę przedział podany przeze mnie?

Czyli ogólnie rozwiązaniem jest przedział:
\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{6}+ 2k \pi; \frac{7}{6} \pi + 2k \pi}\)

[Jan Kraszewski]

Czyli ogólnie rozwiązaniem jest przedział:
\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{6}+ 2k \pi; \frac{7}{6} \pi + 2k \pi}\)

Hmmm... To jeszcze nie jest przedział.

JK

[zwierze]

Dostawiając jedynie nawiasy - to już staje się przedziałem

[Jan Kraszewski]

Ale możesz dostawić różne nawiasy i możesz to zrobić dobrze bądź źle.

JK

[zwierze]

To przedział z lewej strony będzie chyba otwarty, a z prawej domknięty, tak?