wykaż, że.. wzory sumy i różnicy kątów

[Fritillaria]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \tg( \alpha + \beta )=3 \tg \alpha}\), to \(\displaystyle{ \sin(2 \alpha +2 \beta ) + \sin 2 \alpha = 2 \sin(2 \beta )}\)

Próbowałam przekształcić dane równanie z tangensem, żeby móc je jakoś wykorzystać w dowodzie, ale wychodzą kolosalnie wielkie, nie dające się skrócić wielkości.

Ponawiam prośbę o pomoc, bo nie wierzę, że nie ma na tym forum osoby, która umie to rozwiązać.

[Powermac5500]

Z 1) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\sin( \alpha + \beta) }{\cos( \alpha + \beta)}=3 \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}\)

po wymnożeniu i zastosowaniu wzorów na sinus i cosinus sumy:

\(\displaystyle{ \cos \alpha\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha\cos \alpha \sin \beta =3\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta -3\sin \alpha \sin \alpha \sin \beta}\)

Mnożymy obie strony równania przez \(\displaystyle{ 2}\) i zwijamy stosując wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego:

\(\displaystyle{ \sin 2\alpha\cos \beta + (\cos2 \alpha +1)\sin \beta =3\sin 2\alpha\cos \beta+3(\cos2 \alpha -1)\sin \beta}\)

Pozbywamy się nawiasów i sumujemy:

\(\displaystyle{ 2\sin 2\alpha\cos \beta+2\cos 2\alpha\sin \beta =4\sin \beta}\)

Mnożymy wszystko przez \(\displaystyle{ \cos \beta}\) i znowu korzystamy ze wzorów na sinus i cosinus kąta podwojonego:

\(\displaystyle{ \sin2 \alpha (1+\cos2 \beta )+\cos2 \alpha \sin2 \beta =2\sin2 \beta}\)

Pozostało już tylko wymnożenie nawiasu i wzór na sinus sumy.

Widać rozwiązanie?

[Fritillaria]

Widać. Ogromnie dziękuję!