Obliczanie kąta znając cosinus i sinus

[testoviron]

Witam!
Moglibyście polecić mi jakąś uniwersalną metodę na ustalenie argumentu liczby zespolonej (kąt φ albo lub ile to \(\displaystyle{ \pi}\)) kiedy mam sinusa i cosinusa? Aby metoda działała np. przy takich sytuacjach;

\(\displaystyle{ Z=i\\
\cos\varphi=0\\
\sin\varphi=1\\
\\\\
Z=5+2i\\
\cos\varphi=\frac{5 \sqrt{29}}{29}\\
\sin\varphi=\frac{2 \sqrt{29}}{29}\\
\\\\
Z=1-\sqrt{3}i\\
\cos\varphi=\frac{1}{2}\\
\cos\varphi=-\frac{ \sqrt{3}}{2}\\
\\\\
Z=2-7i\\
\cos\varphi=\frac{1}{2}\\
\cos\varphi=-\frac{7}{4}}\)


Mam trochę zaległości z poprzedniej szkoły i przez to to sprawia mi największy kłopot (obliczam jakimś pokrętnym sposobem na kalkulatorze naukowym i nie zawsze wychodzi).
Pozdrawiam T.

[Kartezjusz]

Pierwsze trzy -dobrze. Ostatnie. Pokaż jak liczysz moduł

[testoviron]

Rzeczywiście - przepraszam powinno być;

\(\displaystyle{ Z=2-7i\\
\cos\varphi=\frac{2 \sqrt{53}}{53}\\
\cos\varphi=-\frac{7 \sqrt{53}}{53}}\)

Kartezjusz chodzi mi o to jak teraz ustalić ile to \(\displaystyle{ \pi}\) albo ile \(\displaystyle{ \varphi}\) ma stopni?

[Kartezjusz]

funkcje cyklometryczne.

[testoviron]

O dzięki tylko nadal gdzieś robię błąd;

\(\displaystyle{ Z=-\sqrt{3}-i\\
\cos\varphi=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin\varphi=-\frac{1}{2}}\)
korzystając z tabelek wychodzi mi;
\(\displaystyle{ \varphi=\frac{7}{6} \pi}\)

te funkcje cyklometryczne;
\(\displaystyle{ \varphi=\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})= \pi -\frac{\pi}{6}=\frac{5}{6}\pi \\
\varphi=\arcsin(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{6}\pi}\)

więc coś robię nie tak lub czego nie zrobiłem? Chcę te \(\displaystyle{ \arccos \arcsin}\) do obliczenia takich rzeczy których nie ma w tabelce, ale póki co nie zgadza mi się nawet przy tym co w tabelce jest ;/

[bakala12]

Ja proponuje patrzeć na znaki przy sinusie i cosinusie. Tutaj oba są ujemne więc z "wierszyka" to będzie 3 ćwiartka układu. I teraz wiemy, że \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}}\) więc \(\displaystyle{ \sin \left( \pi+\frac{\pi}{6} \right) =-\frac{1}{2}}\). Sprawdzamy, że cosinus pasuje więc \(\displaystyle{ \varphi=\frac{7\pi}{6}}\)

[testoviron]

Dobra może inaczej - jak w takim przypadku po kolei łopatologicznie wyliczyć \(\displaystyle{ \varphi}\) ?

\(\displaystyle{ Z=-2+5i\\
|Z|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{29}\\
\cos\varphi=-\frac{-2\sqrt{29}}{29}\\
\sin\varphi=\frac{5\sqrt{29}}{29}}\)

[bakala12]

W cosinusie jest tylko jeden minus. To będzie zatem druga ćwiartka. Więc:
\(\displaystyle{ \varphi = \pi-\arcsin\left( \frac{5\sqrt{29}}{29}\right)}\)
Dokładnie tego nie podam bo to bardzo brzydka liczba.

[testoviron]

Okey. doszedłem do czegoś takiego.
w zależności od ćwiartki;

\(\displaystyle{ x=\sin \varphi}\)
I. \(\displaystyle{ \arccos (x)=\arcsin (x)=\varphi}\)
II. \(\displaystyle{ \arccos (x)=\pi-\arcsin (x)=\varphi}\)
IV. \(\displaystyle{ 2\pi-\arccos (x)=\varphi}\)

dwa pytania
-jak będzie dla trzeciej ćwiartki
- i czy to co napisałem jest okey?

Dzięki za dotychczasową pomoc