matura 2013 rownanie

[dawid-cichacki]

zadanie z matury 2013 rozszerzonej

rozwiaz rownanie \(\displaystyle{ \cos2x + \cos x + 1 = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0;\pi \right\rangle}\)

w odpowiedziach na onecie pierwsze przeksztalcenie wyglada tak

\(\displaystyle{ \cos2x = 2cos ^{2}x - 1}\)

skad sie wziela dwojka przed cosinusem z prawej strony oraz potęga?

[Spektralny]

Podam dowód tej tożsamości przy pomocy rachunku różniczkowego by zaciekawić Cię tematem.

Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\cos 2x}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=2\cos^2x - 1}\).

Obliczmy pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)-g(x)}\):

\(\displaystyle{ (f(x)-g(x))^\prime = -\sin 2x \cdot 2 - 4\cos x (-\sin x) = -2\sin 2x + 2\sin 2x =0}\).

Oznacza to, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)-g(x)}\) jest stała. Ale \(\displaystyle{ f(0)-g(0)=0}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)-g(x)}\) jest stale równa zero.

Jestem pewien, że ktoś zaraz poda Ci też szkolne rozwiązanie.

[dawid-cichacki]

dzieki za szczerą chęc pomocy, ale tak czytam to, wiesz nigdy nie liczylem pochodnych co ma związek z tym ze nie mam najmniejszego pojęcia jak to się robi i co zrobiłeś Ty. myslę ze do terazniejszej matury nie bedzie mi to potrzebne :p wiec czekam na jakies szkolne, dzieki

[mmoonniiaa]

Znasz wzór na cosinus kąta podwojonego?

[dawid-cichacki]

chodzi o \(\displaystyle{ \cos 2x = cos ^{2} x - sin ^{2} x}\) ?

tylko ze w tym przeksztalceniu cosinus podwojonego kata nie jest ruszony

[mmoonniiaa]

Są trzy wersje tego wzoru. Jedna z nich to właśnie to: \(\displaystyle{ \cos2x = 2 \cos ^{2}x - 1}\).

[dawid-cichacki]

okej dzieki

[cosinus90]

Nie wiem czy kolega przyjął to na wiarę czy wie, że to wynika z prostego przekształcenia wzoru który sam podał, dlatego dopiszę, że wystarczy we wzorze \(\displaystyle{ \cos 2x = \cos^{2}x - \sin^{2}x}\) podstawić jedynkę trygonometryczną.