Rozwiąż równanie - pierwiastkowanie

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \cos ^ {2} 7x = \frac{3}{4} \\
t = 7x \\
\cos t = \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \cos t = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
ad. A
\(\displaystyle{ \cos t = \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
t = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \wedge k \in Z \vee t = \frac{11\pi}{6} + 2 k \pi \wedge k \in Z}\)
Moje pytanie brzmi:
czy do tego momentu jest dobrze ?

[mmoonniiaa]

Tak, dobrze.

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \cos ^ {2} 7x = \frac{3}{4} \\
t = 7x \\
\cos t = \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \cos t = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
ad. A
\(\displaystyle{ \cos t = \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
t = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \wedge k \in Z \vee t = \frac{11\pi}{6} + 2 k \pi \wedge k \in Z}\)

\(\displaystyle{ 7x = t \\
x = \frac{\pi}{42} + \frac{2}{7} k \pi \wedge k \in Z \vee t = \frac{11\pi}{42} + \frac{2}{7} k \pi \wedge k \in Z}\)

ad. B
\(\displaystyle{ \cos t = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
t = - \frac{5\pi}{6} + 2 k \pi \vee t = - \frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi\\
k \in Z \\
7x = t \\
x =- \frac{5\pi}{42} + \frac{2}{7} k \pi \vee x = - \frac{7 \pi}{42} + \frac{2}{7} k\pi}\)

Proszę o sprawdzenie. W odpowiedziach jest wynik :
\(\displaystyle{ x = \pm \frac{\pi}{42} + k \frac{\pi}{7}}\)

[kacper218]

Wyznacz kilka początkowych rozwiązań i sprawdź czy się pokrywają.

[Scruffy]

Wyznacz kilka początkowych rozwiązań i sprawdź czy się pokrywają.

Albo źle liczę, albo wyniki mi się nie pokrywają.

[Scruffy]

Jeśli można prosiłbym o poprawienie tego zadania. Z góry dziękuję za pomoc.
\(\displaystyle{ \cos ^ {2} 7x = \frac{3}{4} \\
t = 7x \\
\cos t = \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \cos t = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
ad. A
\(\displaystyle{ \cos t = \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
t = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \wedge k \in Z \vee t = \frac{11\pi}{6} + 2 k \pi \wedge k \in Z}\)

\(\displaystyle{ 7x = t \\
x = \frac{\pi}{42} + \frac{2}{7} k \pi \wedge k \in Z \vee t = \frac{11\pi}{42} + \frac{2}{7} k \pi \wedge k \in Z}\)

ad. B
\(\displaystyle{ \cos t = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
t = - \frac{5\pi}{6} + 2 k \pi \vee t = - \frac{7 \pi}{6} + 2 k \pi\\
k \in Z \\
7x = t \\
x =- \frac{5\pi}{42} + \frac{2}{7} k \pi \vee x = - \frac{7 \pi}{42} + \frac{2}{7} k\pi}\)

[mmoonniiaa]

Dobrze, ale należy jeszcze zauważyć, że te rozwiązania się pokrywają.
Te dwa rozwiązania:
\(\displaystyle{ t= \frac{\pi}{6}+2 k \pi \vee t= \frac{-5 \pi}{6}+2 k \pi}\)
to po prostu:
\(\displaystyle{ t= \frac{\pi}{6}+ k \pi}\)
dla \(\displaystyle{ k \in Z}\)

Podobnie z drugą parą.