Rozwiąż równanie - problem z drugim rozwiązaniem

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \sin 2x = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Pierwszym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} + k \pi \wedge k \in Z}\)
Z tym rozwiązaniem większych problemów nie miałem.
Jednak napotkałem trudności w wyznaczeniu drugiego rozwiązania. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak w łatwy i szybki sposób otrzymać to drugie rozwiązanie ( \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} + k \pi \wedge k \in Z}\) ). Jakby co, widzę na wykresie to rozwiązanie ( tylko mam problem z jego obliczeniem ).

[bartek118]

Jak podstawimy \(\displaystyle{ y=2x}\) to z równania wyjściowego mamy dwa rozwiązania. Jedno znamy, a drugie podpowiem - jest symetryczne względem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).

[Scruffy]

Jak podstawimy \(\displaystyle{ y=2x}\) to z równania wyjściowego mamy dwa rozwiązania. Jedno znamy, a drugie podpowiem - jest symetryczne względem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).

A mógłbyś to rozpisać? Powiem szczerze, że za bardzo nie rozumiem.

[bartek118]

Podstawiam \(\displaystyle{ y = 2x}\). Mamy:

\(\displaystyle{ \sin y = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Więc rysujemy wykres sinusa. I widać, że są te dwa rozwiązania, z Twojego poprzedniego postu wnioskuję, że wiesz jak wygląda to jedno z nich:
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi}\)
Teraz - z wykresu ponownie widzimy, że to drugie rozwiązanie jest symetrycznie rozmieszone na tej "górze" stworzonej przez sinusa, a jej szczyt jest w \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Więc symetrycznie, drugie rozwiązanie liczymy tak:
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{2 \pi}{3} + 2k\pi}\)
Wracając z podstawieniem \(\displaystyle{ y=2x}\) otrzymasz oba rozwiązania.

[kacper218]

Ja osobiście robię to tak:
\(\displaystyle{ \sin 2x =\frac{\sqrt3}{2}\\
2x=t\\
\sin t=\frac{\sqrt3}{2}\\
t=\frac{\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ t=\left(\pi-\frac{\pi}{3} \right)+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{6} +k\pi \ \vee \ t=\frac{\pi}{3} +k\pi}\)
Wynika to ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sin x= \sin(\pi - x)}\)

[bartek118]

Ja osobiście robię to tak:
\(\displaystyle{ \sin 2x =\frac{\sqrt3}{2}\\
2x=t\\
\sin t=\frac{\sqrt3}{2}\\
t=\frac{\pi}{3} +2k\pi \ \vee \ t=\left(\pi-\frac{\pi}{3} \right)+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{6} +k\pi \ \vee \ t=\\frac{\pi}{3} +k\pi}\)
Wynika to ze wzoru:
\(\displaystyle{ \sin x= sin(\pi - x)}\)

Też prawda Trzeba tylko być oblatanym w tych wzorach trygonometrycznych. Ja zawsze wolę czytać z wykresu