Rozwiąż równanie

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = \frac{\cos2x}{1-\sin2x}}\)
Proszę o rozwiązanie tego równania.

[bakala12]

Najpierw dziedzina. Potem proponuję podnieść stronami do kwadratu.

[Scruffy]

Najpierw dziedzina. Potem proponuję podnieść stronami do kwadratu.

Zrobiłem tak, ale niestety nie wiem co dalej z tym zrobić.
Doszedłem do momentu :
\(\displaystyle{ 1 =[ \frac{\cos ^{2}x - \sin ^{2}x }{1-\sin 2x } ] ^{2}}\)
Niestety w dalszych obliczeniach już się gubię.

[Kartezjusz]

Użyj jedynki trygonometrycznej.do jedynki w mianowniku, sinus podwojony rozpisz. Otrzymasz w mianowniku wzór skróconego mnożenia, ,a źle wykorzystałeś wzór skróconego mnożenia dla lewej strony....

[Scruffy]

Użyj jedynki trygonometrycznej.do jedynki w mianowniku, sinus podwojony rozpisz. Otrzymasz w mianowniku wzór skróconego mnożenia, ,a źle wykorzystałeś wzór skróconego mnożenia dla lewej strony....

\(\displaystyle{ 1 + \sin 2x = [ \frac{1 - 2\sin ^{2} x}{(\cos x - \sin x) ^ {2}} ] ^{2}}\)

I co dalej z tym zrobić ?

[bakala12]

ja miałem na myśli, żeby zapisać to tak:
\(\displaystyle{ 1+\sin 2x= \frac{\cos^{2}2x}{(1-\sin 2x)^{2}}}\)
I po prawej stronie robimy porządek:
\(\displaystyle{ \cos^{2}2x=1-\sin^{2}2x=\left( 1-\sin 2x\right)\left( 1+\sin 2x\right)}\)
I się pewne rzeczy mocno uproszczą.

[Kartezjusz]

Ewentualnie:Licznik zostaw w spokoju( poza rozpisaniem \(\displaystyle{ \cos 2x}\))

[bakala12]

Tylko pamiętaj, że nie wolno Ci podzielić stronami przez \(\displaystyle{ 1+\sin 2x}\)
To tak tylko jakby Ci jakieś głupie pomysły przyszły do głowy

[Kartezjusz]

Zginą Ci wtedy rozwiązania powstałe z obustronnego wyzerowania się tego wyrażenia. Jeśli przyrównasz czynnik do zera i wyliczysz pierwiastki, to możesz potem dzielić. Rozwiązania tego nowego i "prewencyjnego" równania powinny dać rozwiązania całości.

[bakala12]

Rozwiązania tego nowego i "prewencyjnego" równania powinny dać rozwiązania całości.

To jeszcze nie wszystko. Trzeba sprawdzić czy wszystkie powstałe rozwiązania spełniają nasze wyjściowe równanie. A to dlatego, że podnoszenie równań stronami do kwadratu nie jest do końca legalne, bo mogą się pojawić fałszywe pierwiastki.