Równanie trygonometryczne z parametrem.

[StiffMeister]

Dla jakiej wartości parametru m liczby \(\displaystyle{ sin }\) i \(\displaystyle{ cos }\) sa pierwistkami rownania:

\(\displaystyle{ x^{2} + mx - \frac {1}{4} = 0}\). Dochodze do postaci, że \(\displaystyle{ m= \frac {1}{sin - cos }}\)i nie wiem co dalej .Z góry dzięki.

[ariadna]

\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 1=m^{2}+\frac{1}{2}}\)

[StiffMeister]

No fakt wynik wychodzi dobry, tylko mam pytanie skąd się wzięło to:

\(\displaystyle{ \frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}\)

[ariadna]

Wzory Viete'a.
\(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-\frac{b}{a})^{2}-2\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}\)

[wikuszka]

Dla jakiej wartości parametru m liczby \(\displaystyle{ sin }\) i \(\displaystyle{ cos }\) sa pierwistkami rownania:

\(\displaystyle{ x^{2} + mx - \frac {1}{4} = 0}\). Dochodze do postaci, że \(\displaystyle{ m= \frac {1}{sin - cos }}\)i nie wiem co dalej .Z góry dzięki.

Możesz wytłumaczyć skąd wyznaczyłaś parametr m?

[ariadna]

wikuszka, jeśli do mnie to pytanie, to moje rozwiązanie powyżej jest całe, więc nie rozumiem pytania.
Podstawić wystarczy współczynniki do wzoru wyznaczonego z pomocą wzorów Viete'a.

[wikuszka]

Nie,no kurde,nie kumam. Dlaczego suma kwadratow? to jakies zło jest. wytłukmaczcie mnie ciemnej...

[sztuczne zęby]

No więc ja spróbuje Ci wytłumaczyć.

\(\displaystyle{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}\)

A więc \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}}\) są rozwiązaniami tego równanie. Przekształcamy sumę ich kwadratów na postać w której możemy skorzystać ze wzorów vieta. Jak wiadomo rozwiązaniami równania miały być \(\displaystyle{ sinx}\) i \(\displaystyle{ cosx}\), a jak wiadomo \(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\).
I to właśnie wykorzystuje ariadna, .

\(\displaystyle{ sin^{2}x+cos^{2}x=\frac{b^{2}-2ac}{a^{2}}\\
1=m^{2}+\frac{1}{2}}\)

Mam nadzieję, że wszystko jasne.