dziwne równanie

[spzkasia]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{(x-2)^2} \le \left| \sin x\right| dla x \in \left\langle -2 \pi , 2 \pi \right\rangle}\). Proszę o wskazówki.

[robertm19]

Rozważ nieróność dla takich \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \sin x=0}\).
Potem dla reszty, zauważ
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{|\sin x|}=sgn(\sin x )}\).

[spzkasia]

Niestety nie wiem jeszcze, co to \(\displaystyle{ sgn}\). Czy da się to rozwiązać inaczej?

[robertm19]

Takie coś\(\displaystyle{ sgn(\sin x )}\) oznacz \(\displaystyle{ \begin{cases} 1\quad gdy\quad \sin x>0 \\ -1\quad gdy\quad \sin x<0 \\0\quad gdy\quad \sin x=0\end{cases}}\).

[spzkasia]

\(\displaystyle{ (x-2)^2 \ge -1,}\) gdy \(\displaystyle{ \sin x}\) mniejsze od \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)^2 \ge 0,}\) gdy \(\displaystyle{ \sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)^2 \ge 1,}\) gdy \(\displaystyle{ \sin x}\) większe od \(\displaystyle{ 0}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ x \in R,}\) gdy \(\displaystyle{ \sin x \leq 0 \vee \sin x=0,}\)
\(\displaystyle{ x \ge 3,}\) gdy \(\displaystyle{ \sin x \geq 0 \right\}}\)

czy tak? (przepraszam za zapis nie do końca potrafie uzywac LaTeXa)

[oldj]

\(\displaystyle{ (x-2)^2 \ge 0, gdy \sin x = 0}\)

jak napisał robertm19, najpierw rozważasz przypadek \(\displaystyle{ \sin x = 0}\) osobno, dla samej nierówności (i dostajesz, że spełnia ją każdy \(\displaystyle{ x}\) gdzie \(\displaystyle{ \sin x = 0}\) (bo będzie \(\displaystyle{ 0 \ge 0}\)))
czyli rozwiązaniem (dla tego przypadku) będzie \(\displaystyle{ x \in [-2\pi, 2\pi] \wedge x \in R \wedge \sin x= 0}\) , czyli \(\displaystyle{ x = -2\pi \vee x = -\pi \vee x = 0 \vee x = \pi \vee x = 2\pi}\).

pozostałe 2 nierówności są w porządku - musisz je rozwiązać i przeciąć z innymi zbiorami tzn. odpowiednio takimi, że \(\displaystyle{ \sin x}\) jest dodatni/ujemny.

[spzkasia]

1) w przypadku gdy \(\displaystyle{ \sin x < 0}\), \(\displaystyle{ x=\left( - \pi ,0\right) \cup \left( \pi ,2 \pi \right)}\), tak?
2) w przypadku gdy \(\displaystyle{ \sin x > 0}\), mamy warunki: \(\displaystyle{ \sin x > 0 \wedge x \ge 3 \wedge x \in \left\langle -2 \pi ,2 \pi \right\rangle}\). Co właściwie wnosi warunek \(\displaystyle{ x \ge 3}\)? Wydaje mi się to dziwne, kiedy \(\displaystyle{ \pi}\) miesza się z l. rzeczywistymi, tzn. wynik zwykle wychodzi w odniesieniu do \(\displaystyle{ \pi}\) (radianów), a tu jeszcze muszę uwzględnić "zwykłą" trójkę?

[oldj]

1) w przypadku gdy \(\displaystyle{ \sin x < 0, x=\left( - \pi ,0\right) \cup \left( \pi ,2 \pi \right)}\), tak?

tak (zakładając, że \(\displaystyle{ x \in [-2\pi,2\pi]}\). w przeciwnym przypadku to nie byłoby prawdą)
co do 2.) , to rozwiązanie nierówności jest inne niż \(\displaystyle{ x \ge 3}\). A kolejne warunki nakładane na x mogą po prostu zmienić rozwiązanie.

Wydaje mi się to dziwne, kiedy pi miesza się z l. rzeczywistymi, tzn. wynik zwykle wychodzi w odniesieniu do pi (radianów), a tu jeszcze muszę uwzględnić "zwykłą" trójkę?

takie zadanie.