Oblicz wykorzystując wzór na kosinus podwójnego kąta

[pi0tras]

-Mam problem z pewnym zadaniem jego treść brzmi:

"Obliczamy \(\displaystyle{ \cos22.5^{\circ}}\) wykorzystując wzór na kosinus podwójnego kata: \(\displaystyle{ \cos2x = 2\cos^{2}x -1.}\)

* \(\displaystyle{ cos45^{\circ} = 2(\cos22.5^{\circ})^{2} -1}\)

* Stąd otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2(\cos22.5^{\circ})^{2} = \frac{\sqrt2 }{2} +1}\) a więc \(\displaystyle{ (\cos22.5^{\circ})^{2} = \frac{\sqrt2 + 2 }{4}}\)

* Ponieważ \(\displaystyle{ \cos22.5^{\circ} > 0}\) , więc z ostatniej równosci mamy \(\displaystyle{ \cos22.5^{\circ} = \sqrt{\frac {\sqrt2 + 2}{4}}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{\frac {\sqrt2 + 2}{2}}}\)

Postępując w analogiczny sposób oblicz \(\displaystyle{ \cos105^{\circ}}\) "

No i tak, pod odczytaniu z wykresu wychodzi mi, że \(\displaystyle{ -\cos30^{\circ} =\cos105^{\circ}}\) więc : \(\displaystyle{ -{\frac {\sqrt3}{2}}}\) czyli:

\(\displaystyle{ -{\frac {\sqrt3}{2}}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ 2(\cos105^{\circ})^{2} - 1}\) a po przekształceniu otrzymuję:

\(\displaystyle{ 1-{\frac {\sqrt3}{2}} = (\cos105^{\circ})^{2}}\)

a z tego otrzymuję: \(\displaystyle{ \cos105^{\circ} = {\frac {\sqrt{-\sqrt3 + 2}}{2}}}\)

Wszystko jest byłoby ok, kąt jest taki sam, tylko, ze z ujemnym znakiem ... i nie wiem po prostu czy przed potęgowaniem trzeba napisać, że ten kat jest mniejszy od zera a potem po potęgowaniu i rozwiazaniu równania zmienić znak ? Bo w odpowiedziach jest, że \(\displaystyle{ \cos105^{\circ} = -{\frac {\sqrt{-\sqrt3 + 2}}{2}}}\)

[macik1423]

\(\displaystyle{ 1-{\frac {\sqrt3}{2}} = (\cos105^{\circ})^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac {{-\sqrt3 + 2}}{2}} = \left| \cos105^{\circ} \right|}\)

\(\displaystyle{ \cos 105^{\circ}}\) jest ujemny bo jest to druga ćwiartka, a w drugiej dodatni jest tylko sinus.