sprawdź poprawność nierównosci

[koksiu15]

sprawdź poprawność nierówności \(\displaystyle{ \log _{2} \log _{4}x<\log _{4}\log _{2}x}\) jest prawdziwa dla:
a)\(\displaystyle{ x=11}\)
b)\(\displaystyle{ x=7}\)
c)\(\displaystyle{ x=19}\)
d)\(\displaystyle{ x=3}\)

[dulcemaria94]

a) Podstaw \(\displaystyle{ 11}\) za \(\displaystyle{ x}\) i skorzystaj z tego:

\(\displaystyle{ \log _{a ^{k}}x= \frac{1}{k} \cdot \log _{a}x}\)

Rozpisz 4 na 2 do drugiej potęgi. (Chodzi o ta czwórkę z podstawy logarytmu z prawej strony.)

Potem skorzystaj z tego:

\(\displaystyle{ p \cdot \log _{a}x=\log _{a}x ^{p}}\)

Dostaniesz:

\(\displaystyle{ \log _{2}\log _{4}11<\log _{2} \sqrt{\log _{2}11}}\)

W tym momencie możemy opuścić te zewnętrzne logarytmy (bez zmiany znaku).

-- 14 wrz 2013, o 20:26 --

Podnosimy obustronnie do kwadratu i dzielimy przez \(\displaystyle{ \log _{4}11}\) i mamy:

\(\displaystyle{ \log _{4}11> \frac{\log _{2}11}{\log _{4}11}}\)

Logarytm z mianownika rozpisujemy jako: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \log _{2}11}\) i skracamy ułamek.
Dostajemy:

\(\displaystyle{ \log _{4}11>2}\)

Dwa rozpisujemy jako \(\displaystyle{ \log _{4}16}\) i opuszczamy logarytmy. Dostajemy \(\displaystyle{ 11>16}\) czyli sprzeczność.
Dla \(\displaystyle{ x=11}\)ta nierówność nie jest prawdziwą.