rozwiąż równanie w danym przedziale

[umadame]

cześć nie mam pomysłu na rozwiązanie równania, utknęłam w pewnym momencie.

więc mamy dany przedział \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2 \pi, \pi\right\rangle}\)

i równanie: \(\displaystyle{ \cos2x + 5\sin x - 3=0}\)

rozwiązywałam go w ten sposób:
\(\displaystyle{ 1- 2\sin^{2}x + 5 \sin x - 3=0}\)

\(\displaystyle{ 5 \sin x - 2 \sin^{2}x -2=0}\)

\(\displaystyle{ \sin x( \frac{5}{2} - \sin x)=1}\)

nie wiem czy to dobry sposób, bo nie mam dalej pomysłu oprócz tego, że \(\displaystyle{ \frac{5}{2} -\sin x}\) jest nieujemne czyli \(\displaystyle{ \sin x > 0}\) tylko jak wybrać rozwiązania ze zbioru?

[mmoonniiaa]

W ten sposób nie rozwiążesz tego równania.
\(\displaystyle{ 5 \sin x - 2 \sin^{2}x -2=0}\)

Zrób podstawienie: \(\displaystyle{ \sin x =t \in \left\langle -1;1\right\rangle}\) i rozwiąż równanie kwadratowe.

[umadame]

na pewno nie da się tego rozwiązać inaczej, trzeba podstawić t? na lekcji tego nie robiliśmy więc wolałabym używać samych wzorów związanych z funkcjami

[Dilectus]

Niedobry. Popatrz:

\(\displaystyle{ 5 \sin x - 2 \sin^{2}x -2=0}\)

Uporządkujmy:

\(\displaystyle{ - 2 \sin^{2}x +5 \sin x -2=0}\)

I podstaw nową zmienną \(\displaystyle{ y=\sin x}\), po czym rozwiąż równanie kwadratowe, pamietając o dziedzinie. Na koniec wróć do starej zmiennej.

[mmoonniiaa]

Możesz zrobić bez podstawienia, wtedy Twoją zmienną jest \(\displaystyle{ \sin x}\). Chodzi o to, żeby rozwiązać równanie kwadratowe - wylicz deltę: \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac}\).
\(\displaystyle{ 5 \sin x - 2 \sin^{2}x -2=0 \Leftrightarrow 2 \sin^{2}x -5 \sin x + 2=0}\)
czyli współczynnikami są: \(\displaystyle{ a=2}\), \(\displaystyle{ b=-5}\), \(\displaystyle{ c=2}\).