Rozwiąż równanie ( znajomość tożsamości )

[Scruffy]

Rozwiąż:
\(\displaystyle{ \cos (x+ \frac{\pi}{6}) = \sin 2x}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \cos x - \sin x \cdot \frac{1}{2} - \sin 2x = 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos x - \frac{1}{2}\sin x - 2 \sin x \cdot \cos x}\)
Niestety nie wiem jak dalej ruszyć.

[bakala12]

\(\displaystyle{ \sin 2x= \cos\left( \frac{\pi}{2}-2x \right)}\)
I wszystko na lewą stronę i zastosuj wzór na różnicę cosinusów.

[Scruffy]

\(\displaystyle{ \sin 2x= \cos\left( \frac{\pi}{2}-2x \right)}\)
I wszystko na lewą stronę i zastosuj wzór na różnicę cosinusów.

Mógłbyś to rozpisać, bo za bardzo nie rozumiem ?

[wujomaro]

Znasz wzór na cosinus różnicy i na sinus podwójnego kąta? Rozpisz sobie to wzorami i się wyjaśni.
Pozdrawiam!

[bakala12]

wujomaro, nie o to mi chodziło. Ja planowałem tak:
\(\displaystyle{ \cos\left( x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2x \\
\cos \left( x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left( \frac{\pi}{2}-2x\right) \\
\cos \left( x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left( \frac{\pi}{2}-2x\right)=0}\)
I teraz użyj wzoru:
\(\displaystyle{ \cos a -\cos b=-2\sin \left( \frac{a+b}{2}\right)\sin\left( \frac{a-b}{2}\right)}\)

[Scruffy]

wujomaro, nie o to mi chodziło. Ja planowałem tak:
\(\displaystyle{ \cos\left( x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2x \\
\cos \left( x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left( \frac{\pi}{2}-2x\right) \\
\cos \left( x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left( \frac{\pi}{2}-2x\right)=0}\)
I teraz użyj wzoru:
\(\displaystyle{ \cos a -\cos b=-2\sin \left( \frac{a+b}{2}\right)\sin\left( \frac{a-b}{2}\right)}\)

Wychodzi : \(\displaystyle{ -2 \sin ( \frac{ \frac{2}{3}\pi - x }{2}) \sin ( \frac{3x- \frac{\pi}{3} }{2})=0}\)
\(\displaystyle{ \sin ( \frac{ \frac{2}{3}\pi - x }{2})= 0 \vee \sin ( \frac{3x- \frac{\pi}{3} }{2})=0}\)
Jednak w dalszych obliczeniach wychodzi mi już błąd. Proszę o rozwiązanie.

[loitzl9006]

wykorzystaj może to, że równanie
\(\displaystyle{ \cos a=\cos b}\)
ma rozwiązania postaci:

\(\displaystyle{ a=b+2k\pi \ \ \vee \ \ a=-b+2k\pi \\ \\ \cos \left( x+ \frac{\pi}{6} \right) = \sin 2x \\ \\ \cos \left( x+ \frac{\pi}{6} \right) = \cos\left( \frac{\pi}2-2x\right) \\ \\ x+\frac{\pi}6=\frac{\pi}2-2x+2k\pi \ \ \vee \ \ x+\frac{\pi}6=2x-\frac{\pi}2 +2k\pi \\ \\ x=\frac{\pi}9+\frac23k\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{2\pi}3+2k\pi}\)

[Scruffy]

wykorzystaj może to, że równanie
\(\displaystyle{ \cos a=\cos b}\)
ma rozwiązania postaci:

\(\displaystyle{ a=b+2k\pi \ \ \vee \ \ a=-b+2k\pi \\ \\}\)

A skąd to wiemy ?

[loitzl9006]

Z rysunku - narysuj sobie wykres cosinusa, zaznacz jakiś punkt należący do wykresu załóżmy że jego współrzędna iksowa jest \(\displaystyle{ b}\). On ma przyporządkowaną jakąś tam wartość. Teraz szukamy punktów o współrzędnych \(\displaystyle{ a}\) którym jest przyporządkowana ta sama wartość (inaczej rzecz biorąc szukamy punktów co leżą na tej samej wysokości na wykresie). Zauważ, że każdy punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ a=b+2k\pi}\) będzie miał przyporządkowaną tę samą wartość bo funkcja cosinus jest okresowa. A teraz jak masz punkt o współrzędnej iksowej \(\displaystyle{ -b}\) (symetrycznie względem osi \(\displaystyle{ y}\)) to też ma przyporządkowaną tę samą wartość, no nie? I te wartości powtarzają się również co \(\displaystyle{ 2k\pi}\) zatem \(\displaystyle{ a=-b+2k\pi}\).