Dziedzina funkcji

Azazel412 · Post autor: **Azazel412** » 4 wrz 2013, o 18:10

Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\arcsin \frac{y-1}{x ^{2} }}\)

Wiem, że \(\displaystyle{ -1 \le \frac{y-1}{x ^{2} } \le 1}\)
oraz \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Co dalej z tym robić?

Qń · Post autor: Qń » 4 wrz 2013, o 18:55

Możesz pomnożyć nierówności stronami przez dodatnią liczbę \(\displaystyle{ x^2}\).

Q.

Azazel412 · Post autor: **Azazel412** » 4 wrz 2013, o 19:45

Mnożę przez \(\displaystyle{ x^{2}}\) otrzymuje
\(\displaystyle{ y \le x^{2} +1 \wedge y \ge - x^{2} +1}\)
I jak mam teraz zapisać dziedzinę?
Jeżeli jest to funkcja dwóch zmiennych to dziedzina mają być x i y należące do jakiś przedziałów?

dulcemaria94 · Post autor: **dulcemaria94** » 4 wrz 2013, o 19:52

Tak. Według mnie mamy już wszystko. Te nierówności możesz zapisać za pomocą przedziału.

Qń · Post autor: Qń » 4 wrz 2013, o 20:02

dulcemaria94 pisze:Te nierówności możesz zapisać za pomocą przedziału.

No raczej nie bardzo.

Dziedzinę funkcji dwóch zmiennych zwyczajowo przedstawia się graficznie - jest to pewien podzbiór płaszczyzny kartezjańskiej.

Q.

Azazel412 · Post autor: **Azazel412** » 4 wrz 2013, o 20:22

Czyli rozwiązaniem będzie cała płaszczyzna oprócz obszarów ograniczonych parabolami?

Qń · Post autor: Qń » 4 wrz 2013, o 21:15

Nie.

Przecież szukając dziedziny masz odpowiedzieć na pytanie dla jakich par liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) podane wyrażenie ma sens liczbowy. Czyli do dziedziny należą te pary (czyli punkty na płaszczyźnie) dla których ten sens jest. Czyli te, które spełniają podwójną nierówność (i dodatkowo \(\displaystyle{ x}\) nie może być zerem).

Q.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 4 wrz 2013, o 23:38

Qń pisze:Nie.

Przecież szukając dziedziny masz odpowiedzieć na pytanie dla jakich par liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) podane wyrażenie ma sens liczbowy. Czyli do dziedziny należą te pary (czyli punkty na płaszczyźnie) dla których ten sens jest. Czyli te, które spełniają podwójną nierówność (i dodatkowo \(\displaystyle{ x}\) nie może być zerem).

Q.

Dlaczego nie? W tym przypadku obszar, który jest dziedziną jest to płaszczyzna oprócz obszaru nad jedną i pod drugą parabolą oraz oprócz punktu (0,1) (wszystkie inne punktu z x=0 są wykluczone już przez parabole)

ja w takich zadaniach zawsze robiąc rysunek pamiętam, że z kartki wybieram dziedzinę, a wykres będzie w trzecim wymiarze nad lub pod kartką, wtedy łatwo to sobie wyobrazić

Qń · Post autor: Qń » 4 wrz 2013, o 23:52

Możliwe, że to autor miał na myśli pisząc o "obszarach ograniczonych parabolami".

Ale ponieważ parabole nie ograniczają żadnego obszaru, uznałem, że chodziło o obszar wyznaczony przez nierówności.

Q.

Azazel412 · Post autor: **Azazel412** » 5 wrz 2013, o 11:17

Czyli wykres powinie wyglądać mnie więcej tak:

Na czerwono zaznaczony jest wynik