Najmniejsza wartość funkcji

[arczi]

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{(ctg^{2}x-tg^{2}x)×sin^{2}2x}{4cos2x×sin^{2}x}}\)

_________________
Funkcja ma najmniejszą wartość kiedy licznik jest najmniejszy a mianownik największy.
Mam liczyć osobno kiedy licznik jest najmniejszy i osobno kiedy jest mianownik największy (i jak to policzyć? nierównością z 0), czy mogę to jednym równaniem zapisać:

\(\displaystyle{ (ctg^{2}x-tg^{2}x)×sin^{2}2x}\)

[Lorek]

Nic nie trzeba kombinować z licznikiem/mianownikiem, wystarczy uprościć to wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{(\cot^2 x-\tan^2 x)\sin^2 2x}{4\cos 2x\sin^2 2x}=\frac{(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x})4\sin^2x\cos^2 x}{4\cos 2x\sin^2 x}=\\=\frac{\cos^4 x-\sin^4 x}{\cos 2x\sin^2 x}=\frac{(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)}{\cos 2x\sin^2 x}=\\=\frac{1}{\sin^2 x}}\)
No i funkcja \(\displaystyle{ frac{1}{sin^2 x}in [1;infty)}\), czyli jej najmniejszą wartością jest 1, ale tak się nieszczęśliwie składa, że gdy \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^2x}=1}\) to \(\displaystyle{ \cos x=0}\), a to niestety odpada. Funkcja nie przyjmuje więc najmniejszej wartości.

[sztuczne zęby]

Licznik można tak przekształcić.
\(\displaystyle{ (\frac{cos^2x}{sin^2x}-\frac{sin^2x}{cos^2x}) sin^22x = \\
=\frac{cos^4x-sin^4x}{sin^2xcos^2x} sin^22x =\\
= \frac{cos^4x- (1-cos^2x)^2}{\frac{1}{4}sin^22x} sin^22x = \\
=4((2cos^2x-1)=4cos2x}\)

Dalej już nie powinno być problemów.

[arczi]

jak wygląda wykres \(\displaystyle{ y=1/sin^{2}x}\)

[Lorek]