udowodnij tożsamość

[matematyk1995]

Witam, mam problem z udowodnieniem takiej tożsamości:
\(\displaystyle{ \tg ^{2} \frac{ \pi }{5} \cdot \tg ^{2} \frac{2 \pi }{5}=5}\)

Chodzi mi o sposób z przekształcaniem, a nie z podstawianiem wartości dla kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{10}}\) itp.

[szw1710]

Może skorzystasz ze wzoru na tangens kąta podwojonego? Oznaczając \(\displaystyle{ x=\tg\frac{\pi}{5}}\) dostaniesz pewne równanie, które rozwiążesz i okaże się, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 5}\) a ewentualne inne rozwiązania będą bzdurne (np. ujemne, a nie mogą, bo przecież \(\displaystyle{ x>0}\) - pierwsza ćwiartka).

[matematyk1995]

Mogę używać kąta podwojonego. Więc \(\displaystyle{ x=\tg\frac{\pi}{5} \wedge \tg\frac{2\pi}{5}= \frac{2x}{1-x ^{2} }}\)\(\displaystyle{ \wedge x>0}\)
podstawiając otrzymuje równanie: \(\displaystyle{ x^4 -10x^2 + 5 = 0}\)
\(\displaystyle{ t=x^2 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ t^2-10t+5=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =4 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ t_1=5-2 \sqrt{5} \ge 0 \Rightarrow x_1= \sqrt{5-2 \sqrt{5}} \\
t_2=5+2 \sqrt{5} \ge 0 \Rightarrow x_2= \sqrt{5+2 \sqrt{5}}}\).

I jak teraz uzasadnić, że ta tożsamość zachodzi? Wiem, że \(\displaystyle{ x_1x_2=5}\) Wystarczy tyle napisac?

[bakala12]

Trochę się machnąłeś bo \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}= \sqrt{5}}\)
Możesz skorzystać ze wzorów Viete'a i masz:
\(\displaystyle{ \tg ^{2} \frac{ \pi }{5} \tg ^{2} \frac{2 \pi }{5} =x _{1} ^{2} x ^{2} _{2}=t_{1}t_{2}=5}\)

[matematyk1995]

Dzięki za pomoc

[Msciwoj]

Szkoda tylko, że wszystko jest źle, bo w połowie zakładasz tezę. Ale co tam, carpe diem.

[timon92]

rozważmy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) w którym \(\displaystyle{ \angle CAB = \frac{3 \pi}{10}, \angle ABC = \frac \pi {10}}\)

niech okrąg o środku \(\displaystyle{ C}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ A}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ D,E}\) (\(\displaystyle{ D}\) leży na boku, \(\displaystyle{ E}\) poza)

oznaczmy \(\displaystyle{ BC=a, CA=b, AB=c}\)

po przeliczeniu kątów widzimy że \(\displaystyle{ \triangle ABC \sim \triangle EBA}\) zatem \(\displaystyle{ \frac{AE}{AC} = \frac{AB}{BC}}\) zatem \(\displaystyle{ AE=\frac{bc}a}\), z tego samego podobieństwa mamy \(\displaystyle{ \frac{AB}{BC} = \frac{BE}{AB}}\) zatem \(\displaystyle{ \frac ca = \frac {a+b}c}\) czyli \(\displaystyle{ c^2 = a(a+b)}\)

poza tym \(\displaystyle{ DA=DB=a-b}\), trójkąt \(\displaystyle{ DAE}\) jest prostokątny więc z Pitagorasa \(\displaystyle{ AE^2 + AD^2 = DE^2}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{b^2c^2}{a^2} + (a-b)^2 = 4b^2}\)

wstawiając do ostatniej równości \(\displaystyle{ c^2=a(a+b)}\) i domnażając jeszcze przez \(\displaystyle{ a}\) dostaniemy \(\displaystyle{ b^2(a+b) + a(a-b)^2 = 4ab^2}\) czyli po uporządkowaniu \(\displaystyle{ (a+b)(a^2-3ab+b^2)=0}\) czyli \(\displaystyle{ a^2-3ab+b^2=0}\) czyli \(\displaystyle{ (a+b)^2 = 5(a-b)^2}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = 5}\)

z twierdzenia tangensów wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{\tan \frac{\angle BAC + \angle CBA}{2}}{\tan \frac{\angle BAC - \angle CBA}{2}}=\frac{BC+CA}{BC-CA}}\) zatem \(\displaystyle{ \frac{\tan \frac \pi 5}{\tan \frac{\pi}{10}} = \frac{a+b}{a-b}}\) zatem \(\displaystyle{ \tg ^{2} \frac{ \pi }{5} \cdot \tg ^{2} \frac{2 \pi }{5}= \frac{\tan ^2 \frac \pi 5}{\tan ^2 \frac{\pi}{10}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = 5}\)

[brzoskwinka1]

Można też skorzystać z tego : https://matematyka.pl/80546.htm#304592-- 27 sie 2013, o 12:23 --Można też skorzystać z tego : https://matematyka.pl/80546.htm#304592

[timon92]

ale on nie chciał podstawiać żadnej obliczonej wcześniej wartości sinusa

można jeszcze inaczej, skorzystamy z zależności \(\displaystyle{ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, 2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x + \cos y = 2\cos \frac{x+y}2 \cos \frac{x-y}2}\)

na boku obliczymy sobie \(\displaystyle{ \cos \frac \pi 5 \cos \frac {2\pi} 5 = \frac{\sin \frac \pi 5 \cos \frac \pi 5 \cos \frac {2\pi} 5}{\sin \frac \pi 5} = \frac{\frac 12 \sin \frac {2\pi} 5 \cos \frac {2\pi} 5}{\sin \frac \pi 5} = \frac{\frac 14 \sin \frac {4\pi} 5}{\sin \frac \pi 5} = \frac 14}\)

\(\displaystyle{ \tan^2 \frac \pi 5 \tan^2 \frac {2\pi} 5 = \frac{\sin^2 \frac \pi 5 \sin^2 \frac {2\pi} 5}{\cos^2 \frac \pi 5 \cos^2 \frac {2\pi} 5} = 16 \sin^2 \frac \pi 5 \sin^2 \frac {2\pi} 5 = 4\left(1-\cos \frac {2\pi} 5\right)\left(1-\cos \frac {4\pi} 5\right) = 4 \left(1+\cos \frac {2\pi} 5 \cos \frac {4\pi} 5 - \left(\cos \frac {2\pi} 5+\cos \frac {4\pi} 5 \right)\right) = 4 \left( 1 +\cos \frac {2\pi} 5 \cos \frac {4\pi} 5 - 2\cos \frac {3\pi} 5 \cos \frac {\pi} 5 \right) = 4 \left( 1 + \cos \frac {\pi} 5 \cos \frac {2\pi} 5 \right) = 4 \left( 1 + \frac 14 \right) = 5}\)

[matematyk1995]

Ostatni sposób jest fajny

Szkoda tylko, że wszystko jest źle, bo w połowie zakładasz tezę. Ale co tam, carpe diem.

Gdzie założyłem teze ?

[timon92]

bakala12 założył, że te tangensy są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^4 - 10x^2+5=0}\), a to trzeba właśnie pokazać

Trochę się machnąłeś bo \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}= \sqrt{5}}\)
Możesz skorzystać ze wzorów Viete'a i masz:
\(\displaystyle{ \boxed{\boxed{\tg ^{2} \frac{ \pi }{5} \tg ^{2} \frac{2 \pi }{5} =x _{1} ^{2} x ^{2} _{2}}}=t_{1}t_{2}=5}\)

[matematyk1995]

No tak, racja dzięki

edit :

\(\displaystyle{ 4 \left( 1 +\cos \frac {2\pi} 5 \cos \frac {4\pi} 5 - 2\cos \frac {3\pi} 5 \cos \frac {\pi} 5 \right) = 4 \left( 1 + \cos \frac {\pi} 5 \cos \frac {2\pi} 5 \right)}\) i z tego wynika, że \(\displaystyle{ \cos \frac {2\pi} 5 \cos \frac {4\pi} 5 - 2\cos \frac {3\pi} 5 \cos \frac {\pi} 5 = 1 + \cos \frac {\pi} 5 \cos \frac {2\pi} 5}\) czemu ?

[timon92]

\(\displaystyle{ \cos x = - \cos (\pi - x)}\)

w szczególności \(\displaystyle{ \cos \frac {2\pi}5 = - \cos \frac {3 \pi}5}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac {\pi}5 = - \cos \frac {4 \pi}5}\)

[matematyk1995]

No tak, jak moglem tego nie zauważyć..
A masz jakiś pomysł co do tego:

\(\displaystyle{ \tg^{2} \frac{\pi}{12}+\tg^{2} \frac{3\pi}{12}+\tg^{2} \frac{5\pi}{12}=15}\)

Uprościłem to do postaci: \(\displaystyle{ \tg^{2} \frac{\pi}{12}+\tg^{2} \frac{5\pi}{12}=14}\)

I nie wiem jak to dalej pociągnąć. Czy rozkładać \(\displaystyle{ \tg x}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin x }{\cos x }}\)czy nie..

Nie mam na to pomysłu.

[timon92]

Nie mam na to pomysłu.

rozkładać \(\displaystyle{ \tg x}\) na \(\displaystyle{ \frac{\sin x }{\cos x }}\)

to akurat dobry pomysł