Wykaz, ze rownosc jest tozsamoscia

[cardona]

I kolejne zadanie typu udowodnij, wykaz.. wiec prosze o pomoc - bo trudne te zadania


Zad Wykaz, ze rownosc jest tozsamoscia i podaj odpowiednie zalozenia:

a)\(\displaystyle{ sin2\alpha=\frac{2}{tg\alpha+ctg\alpha}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{sin2\alpha}{1+cos2\alpha}\cdot\frac{cos\alpha}{1+cos\alpha}=tg\frac{\alpha}{2}}\)

c)\(\displaystyle{ (2sin^2\alpha-1)(2sin^2\beta-1)=cos^2(\alpha+\beta)-sin^2(\alpha-\beta)}\)

d)\(\displaystyle{ \frac{cos\alpha-cos3\alpha}{sin3\alpha-sin\alpha}=tg2\alpha}\)

e)\(\displaystyle{ \frac{cos^3\alpha-sin^3\alpha}{cos\alpha-sin\alpha}=\frac{2+sin2\alpha}{2}}\)

f)\(\displaystyle{ \frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=1-2sin^2\alpha}\)

g)\(\displaystyle{ 1-sin\alpha=\frac{ctg\alpha-cos\alpha}{ctg\alpha}}\)

[garf99]

ad 1.)
L. \(\displaystyle{ sin2\alpha = 2sin cos }\)
P. \(\displaystyle{ \frac{2}{tg + ctg }= \frac{2}{ \frac{sin }{cos } + \frac{cos }{sin }} = \frac{2}{\frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{cos\alpha sin\alpha}} = sin2\alpha = 2sin cos }\).
L=P

[ariadna]

g)
\(\displaystyle{ P=\frac{ctgx-cosx}{ctgx}=\frac{ctgx}{ctgx}-\frac{cosx}{ctgx}=1-\frac{cosx}{\frac{cosx}{sinx}}=1-sinx=L}\)
c.n.d

[cardona]

Mam pytanko - czy ktos wie jak powinna wygladac wlasnosc trygonometryczna \(\displaystyle{ tg\frac{\alpha}{2}}\)

Bo tak kombinuje sam i jezeli chodzi o b)

\(\displaystyle{ frac{frac{2tgalpha}{1+tg^2alpha}}{frac{1-tg^2alpha+1+tg^2alpha}{1+tg^2alpha}}cdotfrac{cosalpha}{1+cosalpha}=[ ex]
\(\displaystyle{ \frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}\cdot\frac{1+tg^2\alpha}{2}\cdot\frac{cos\alpha}{1+cos\alpha}=tg\alpha\cdot\frac{cos\alpha}{1+cos\alpha}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha cos\alpha}{cos\alpha(1+cos\alpha)}=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}}\)

Ufff No i teraz - proste pytanie - czy to sie w jakis sposob rowna \(\displaystyle{ tg\frac{\alpha}{2}}\) czy cos pochrzanilem }\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ \sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\\\cos =2\cos^2 \frac{\alpha}{2}-1}\)
wstawiasz i masz.

[ Dodano: 10 Kwiecień 2007, 22:10 ]
zresztą podobnie
\(\displaystyle{ \frac{\sin 2\alpha}{1+\cos2\alpha}=\tan\alpha}\)
bez żadnych ułamków piętrowych.

[cardona]

Ale to czekaj.. - to znaczy ze cos zle zrobilem ? No bo tam wlasnie musi wyjsc \(\displaystyle{ tg\frac{\alpha}{2}}\) Tzn musze udowodnic (to konkretnie przyklad b) jest) ze L=P, a jak tam piszesz ze z tego wyjdzie \(\displaystyle{ tg\alpha}\) po prostu.. - no to lipa ??:

[Lorek]

I wychodzi co ma wyjść, chodzi o to, że tutaj

\(\displaystyle{ \frac{\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}}{\frac{1-tg^2\alpha+1+tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}}\cdot\frac{cos\alpha}{1+cos\alpha}=}\)

niepotrzebny jest ten piętrowy ułamek z tangensami, wystarczyło rozpisać sinusa i cosinusa ze znanych wzorów.

[cardona]

Ok Juz czaje - dzieki

[Lorek]

d) ze wzoru na różnicę sinusów/cosinusów
\(\displaystyle{ \frac{\cos x-\cos 3x}{\sin 3x-\sin x}=\frac{-2\sin (-x)\sin 2x}{2\sin x\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}\)
e)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^3 x-\sin^3 x}{\cos x-\sin x}=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos^2 x+\sin x\cos x+\sin^2 x)}{\cos x-\sin x}=1+\frac{1}{2}\sin 2x}\)
f)
\(\displaystyle{ \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}\cdot \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos^2 x+\sin^2 x}=1-2\sin^2 x}\)

[cardona]

Oooo Genialnie - a c) nie wiesz jak zrobic Bo ja sobie wlasnie siedze nad tym.. i w sumie - nawet sensownie nie zaczalem

[Lorek]

\(\displaystyle{ \cos^2 (\alpha+\beta)-\sin^2 (\alpha-\beta)=[\cos (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)][\cos (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]}\)
teraz zamień wszystko na 1 funkcję, później wzory na sumę/różnicę i powinno wyjść \(\displaystyle{ \cos 2\alpha\cos 2\beta}\) czyli to co po lewej.

[cardona]

Hmm.. a jeszcze - do c) - jak sie zamienia na jedna funkcje ? \(\displaystyle{ -sin(\alpha-\beta)=cos(\alpha+\beta)}\) ?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-x)}\)
i analogicznie w 2 stronę.