Doprowadź do najprostszej postaci...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
calmosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 4 cze 2013, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 8 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: calmosc »

\(\displaystyle{ \cos \alpha \cdot \sqrt{1+\tg ^{2} \alpha } + \sin \alpha \cdot \sqrt{1+\ctg ^{2} \alpha }}\)
Wsadziłem cosinus i sinus pod pierwiastki, wyrażenia się skróciły i wyszło (po zastosowaniu jedynki trygonometrycznej) \(\displaystyle{ \sqrt{1} + \sqrt{1}=2}\), a powinny wyjść trzy przypadki wyniku:2,0,-2. Kto mi powie gdzie jest błąd? Byłbym wdzięczny.
Ostatnio zmieniony 4 cze 2013, o 17:27 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
steal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1043
Rejestracja: 7 lut 2007, o 18:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok|Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 160 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: steal »

Nie wciągaj pod pierwiastek, tylko zredukuj wyrażenia pod pierwiastkiem i pamiętaj o zależości \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\).
Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: Vether »

Pamiętaj ze \(\displaystyle{ \sqrt{1} =1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\).
calmosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 4 cze 2013, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 8 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: calmosc »

Faktycznie, teraz się zgadza, ale nadal nie wiem czemu nie można włączyć sinusa i cosinusa pod nawias. Przecież wtedy wychodzi:
\(\displaystyle{ \sqrt{\cos ^{2} \alpha \cdot \left( 1+\tg ^{2} \alpha \right) } + \sqrt{\sin ^{2} \alpha \cdot \left( 1+\ctg ^{2} \alpha \right) } = \sqrt{\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \cdot \frac{\sin ^{2} \alpha }{\cos ^{2} \alpha } }+\sqrt{\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha \cdot \frac{\cos ^{2} \alpha }{\sin ^{2} \alpha } }= \sqrt{\cos ^{2} \alpha +\sin ^{2} \alpha } + \sqrt{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha }= \sqrt{1} + \sqrt{1}=2}\)
i zastanawiam się gdzie jest błąd rozumowania.
Edit:Vether wszystko wyjaśnił, jak mogłem zapomnieć tak banalnej rzeczy.
Problem rozwiązany, dzięki Wam za pomoc!

EDIT2
Zauważyłem jednak, że ten sposób jest nieco gorszy bo są 3 przypadki wyniku, jednakże pierwszym sposobem można wyznaczyć dla jakiego \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi konkretny przypadek i jest, można powiedzieć "dokładniejszy".
Ostatnio zmieniony 4 cze 2013, o 17:29 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: cosinus90 »

Vether nie do końca ma rację. \(\displaystyle{ \sqrt{1} = 1}\) ze względu na to, że funkcja pierwiastkowa przyjmuje wartości zawsze dodatnie. Można też to udowodnić prostą zależnością wspomnianą wyżej :
\(\displaystyle{ \sqrt{1} = \sqrt{1^2} = |1| = 1}\).
Prawidłowe tłumaczenie przedstawił Ci steal - wciągając pod pierwiastek "gubisz" znaki.
Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: Vether »

Oj... :/ \(\displaystyle{ racja \in \cos 90^\circ}\) Trochę się pośpieszyłem:/
calmosc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 4 cze 2013, o 15:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 8 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: calmosc »

funkcja pierwiastkowa przyjmuje wartości zawsze dodatnie
A nie nieujemne? Teraz w końcu się połapałem, tylko skąd wynika te "gubienie" się znaków? Od czego to zależy?
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: bakala12 »

Gubienie znaków wynika z faktu, że cosinus może być ujemny, a wciągając go pod pierwiastek ten minus ginie, bo pierwiastek zwraca wartości nieujemne.
To tak jakby zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ -2 \sqrt{3}= \sqrt{\left( -2\right) ^{2} \cdot 3 } = \sqrt{12}=2 \sqrt{3}}\)
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Doprowadź do najprostszej postaci...

Post autor: cosinus90 »

calmosc, jeśli chodzi o szczegóły to tak, nieujemne. Zero oczywiście leży zarówno w dziedzinie, jak i w zbiorze wartości tej funkcji.
ODPOWIEDZ