Dowieść lemat

[megi1115]

Lemat. Dla ustalonego \(\displaystyle{ n\ge1}\) połóżmy
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{n} (1-x) ^{n} }{n!}}\)

(i) Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wielomianem postaci \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{n!} \sum_{i=n}^{2n} c_{i} x ^{i}}\) ,
gdzie współczynniki \(\displaystyle{ c _{i}}\) są liczbami całkowitymi.
(ii) Dla \(\displaystyle{ 0}\) mniejszego od \(\displaystyle{ x}\) mniejszego od \(\displaystyle{ 1}\) mniejszego od \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{n!}}\)
(iii)Pochodne \(\displaystyle{ f^{k}(0)}\) i \(\displaystyle{ f ^{k}(1)}\) są całkowite dla wszystkich \(\displaystyle{ k\ge 0}\)

[yorgin]

i) Wynika wprost z definicji funkcji.

ii) ... mniejszego od \(\displaystyle{ 10}\) mniejszego od \(\displaystyle{ x^2}\) mniejszego od...

iii) Dla \(\displaystyle{ k\leq n}\) oczywiste. Reszta wynika z tego, że

\(\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\sum\limits_{i=0}^nc_nx^i}\)

[megi1115]

Dzięki wielkie
I to wszystko starczy? bo mi to jest potrzebne do pracy licencjackiej.

[yorgin]

Nie wiem, czy wystarczy. Podałem tylko szkic, szczegóły są do uzupełnienia.

[megi1115]

Byłabym wdzięczna, gdybyś to napisał szczegółowo.
Ja nie wiem jak się za to zabrać.

[yorgin]

i) Wyciągasz wyrażenie z silnią, reszta to dwumian Newtona.

iii) Napisałem połowę rozwiązania w poprzednim poście.