Czy te równosci to tożsamości ? :]

[cardona]

Na wstepie - chcialem podziekowac wszystkim ktorzy mi pomogli w poprzednich No - a tu zamieszczam kolejny problem ktory sie pojawil.. - bo zadanko nawet ciekawe - ale z kolei - brak schematycznosci czyni je trudniejszym.. ??: No w kazdym badz.. - oto zadanko:

Zad 4.17
Sprawdz, czy rownosc jest tozsamoscia i podaj odpowiednie zalozenia:

a)\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\alpha tg^2\alpha=\frac{tg\alpha}{cos\alpha}}\)

b)\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha}=1+ctg\alpha}\)

c)\(\displaystyle{ cos\alpha(\frac{1}{cos\alpha}-cos\alpha)=sin^2\alpha}\)

d)\(\displaystyle{ \frac{1}{1+sin\alpha}+\frac{1}{1-sin\alpha}=\frac{2}{cos^2\alpha}}\)

e)\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}+\frac{sin\alpha}{1-cos\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}}\)

f)\(\displaystyle{ (1+sin\alpha)(\frac{1}{cos\alpha}-\frac{1}{ctg\alpha})=cos\alpha}\)


Prosze o... wsparcie Pozdrawiam

[maly_lobuziak]

Wszystkie równości są tożsamościami.

a) \(\displaystyle{ cos\alpha\neq0 \iff \neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\alpha tg^2\alpha=sin\alpha(1+tg^2\alpha)=sin\alpha(1+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha})=sin\alpha(\frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha})=sin\alpha\frac{1}{cos^2\alpha}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\frac{1}{cos\alpha}=\frac{tg\alpha}{cos\alpha}}\)

b) \(\displaystyle{ sin\alpha\neq0 \iff \neq k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin\alpha}{sin\alpha}+\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=1+ctg\alpha}\)

c) \(\displaystyle{ cos\alpha\neq0 \iff \neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha(\frac{1}{cos\alpha}-cos\alpha)=\frac{cos\alpha}{cos\alpha}-cos\alpha cos\alpha=1-cos^2\alpha=sin^2\alpha}\)

d) \(\displaystyle{ cos\alpha\neq0 sin\alpha\neq1 sin\alpha\neq-1 \iff \neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+sin\alpha}+\frac{1}{1-sin\alpha}=\frac{1-sin\alpha+1+sin\alpha}{(1+sin\alpha)(1-sin\alpha)}=\frac{1+1}{1-sin^2\alpha}=\frac{2}{cos^2\alpha}}\)

.....

[ Dodano: 8 Kwiecień 2007, 16:16 ]
.....

e) \(\displaystyle{ sin\alpha\neq0 cos\alpha\neq1 cos\alpha\neq-1 \iff \neq k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha(1-cos\alpha)+sin\alpha(1+cos\alpha)}{(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}=\frac{sin\alpha-sin\alpha cos\alpha+sin\alpha+sin\alpha cos\alpha}{1-cos^2\alpha}=\frac{2sin\alpha}{sin^2\alpha}=\frac{2}{sin\alpha}}\)

f) \(\displaystyle{ cos\alpha\neq0 \iff \neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)
\(\displaystyle{ (1+sin\alpha)(\frac{1}{cos\alpha}-\frac{1}{ctg\alpha})=\frac{1}{cos\alpha}+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{1}{ctg\alpha}-\frac{sin\alpha}{ctg\alpha}=\frac{1}{cos\alpha}+tg\alpha-tg\alpha-\frac{sin\alpha}{\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}=\frac{1}{cos\alpha}-\frac{sin^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{1-sin^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{cos^2\alpha}{cos\alpha}=cos\alpha}\)

[ Dodano: 8 Kwiecień 2007, 17:32 ]
w f) dodatkowo jeszcze z dziedziny funkcji kotangens \(\displaystyle{ \alpha\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)

[cardona]

Dziekuje za pomoc - mam jeszcze pytanko - co znaczy ze \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

[ariadna]

To znaczy, że k należy do zbioru liczb całkowitych.