wykaż, że
\(\displaystyle{ |asinx+bcosx|\leq \sqrt{a^2+b^2} \; \; dla \; a,b,x R}\)
wykaż, że zachodzi nierówność
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
wykaż, że zachodzi nierówność
Skorzystamy, z faktu, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \mathbb{R}}\) takich, że że \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} 0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha}\) że:
\(\displaystyle{ \sin = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\\
\cos = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}\)
(łatwo się o tym przekonać, np korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta i wykonując odpowiedni rysunek z kątem w układzie współrzędnych)
\(\displaystyle{ |a \sin x + b\cos x| = ft|\sqrt{a^{2} + b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\cos x\right)\right| = ft|\sqrt{a^{2} + b^{2}}(\sin \sin x + \cos \cos x)\right| = ft|\sqrt{a^{2} + b^{2}}\cos (\alpha - x)\right| qslant \sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ a = b = 0}\), ale wtedy mamy po obu stronach dowodzonej nierówności zera więc zachodzi ona i w tym wypadku.
edit jak obiecałem tak zedytowałem: nie zmieniając wartości merytorycznej tylko poprawiając formę.
\(\displaystyle{ \sin = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\\
\cos = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}}\)
(łatwo się o tym przekonać, np korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta i wykonując odpowiedni rysunek z kątem w układzie współrzędnych)
\(\displaystyle{ |a \sin x + b\cos x| = ft|\sqrt{a^{2} + b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\cos x\right)\right| = ft|\sqrt{a^{2} + b^{2}}(\sin \sin x + \cos \cos x)\right| = ft|\sqrt{a^{2} + b^{2}}\cos (\alpha - x)\right| qslant \sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
Pozostaje przypadek \(\displaystyle{ a = b = 0}\), ale wtedy mamy po obu stronach dowodzonej nierówności zera więc zachodzi ona i w tym wypadku.
edit jak obiecałem tak zedytowałem: nie zmieniając wartości merytorycznej tylko poprawiając formę.
Ostatnio zmieniony 9 kwie 2007, o 00:09 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.
- matekleliczek
- Użytkownik
- Posty: 252
- Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 17 razy