proste zadania z wartosci f. tr

[chopin]

witam. 3 proste przyklady. nie wiem jak je ugrysc. wiem ze trzeba uzyc wzorow na f. trygonometryczne sumy i roznicy itp., ale ja niestety nie mialem niy z tym do czynienia wiec prosze o pomoc

Oblicz:
a) \(\displaystyle{ \sin15^o}\)
b)\(\displaystyle{ \cos105^o}\)
c)\(\displaystyle{ \tan105^o}\)

[Wilkołak]

a)\(\displaystyle{ sin(x-y)=sinxcosy-sinycosx}\) więc:
\(\displaystyle{ sin15^{\circ}=sin(60^{\circ}-45^{\circ})=sin60^{\circ}cos45^{\circ} - sin45^{\circ}cos60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0,259}\)

b) dla cosinus zastosuj:
\(\displaystyle{ cos105^{\circ}=cos(60^{\circ}+45^{\circ})}\)
\(\displaystyle{ cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny}\)

c)
\(\displaystyle{ tanx=\frac{sinx}{cosx}}\)
Wystarczy znaleźć sinus i cosinus ze wzorów,a potem podzielić:
\(\displaystyle{ sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx}\)
\(\displaystyle{ cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny}\)

[chopin]

Dzieki. Mam natomiast teraz taki problem:

Rozwiazac rownanie \(\displaystyle{ 2 \sin^2x+\sin x -1=0}\)

no to podstawiam zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ t=\sin x}\) i wychodzi mi potem \(\displaystyle{ sinx=-1}\)

\(\displaystyle{ \sin x = \sin -\frac{\pi}{2}}\)


\(\displaystyle{ x= -\frac{\pi}{2} + 2k\pi}\)
oraz
\(\displaystyle{ x= -\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}\)

ten pierwszy wynik zgadza sie z odpowiedziami, ale drugiego wyniku nie ma. Dlaczego? Skoro: \(\displaystyle{ x=(\pi - x_0) +2k\pi}\)

[Uzo]

w tym drugim , nie powinno być tego minusika , a w odp nie ma go dlatego ,że ten wynik zawiera się w tym pierwszym

[chopin]

i kolejne zadanko

\(\displaystyle{ \sin x \cos x=-0,5}\)

jak wogole nalezy podchodzic do rownan trygonometrycznych? ja robie to tak i cos nie wychodzi :

\(\displaystyle{ \sin x=-0,5}\)
\(\displaystyle{ \sin x=\sin(-\pi/6)}\)

i nastepnie podstawiam do:
\(\displaystyle{ x=(\pi - x_0) +2k\pi}\)
oraz
\(\displaystyle{ x= x_0 +2k\pi}\)

no i nie wychdzoi. Co zle robie? I jak nalezy podchodzic do rownan trygonometrycznych? Sory za problem ale na lekcji nie przerabialem rownan. Pozdrawiam.

[Wilkołak]

\(\displaystyle{ sinxcosx=-0,5}\) | *2
\(\displaystyle{ 2sinxcosx=-1}\)
\(\displaystyle{ sin2x=-1}\)
\(\displaystyle{ 2x=-\frac{\pi}{2} + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+ k \pi}\)

Po prostu podstawą do rozwiązywania równań, kóre nie należą do tych z grupy elemntarnych, należy znać chociażby podstawowe wzory trygonometryczne.

[chopin]

a dlaczego w wyniku nie ma tez \(\displaystyle{ x=(\pi/2 + \pi/4) +k\pi}\) w koncu przeciez x = x0 + 2kπ
lub x = π − x0 + 2kπ,
?

i czemu bierzemy pod uwage \(\displaystyle{ sin2x=-1}\) a \(\displaystyle{ \cos x = -1}\) nie?

[Calasilyar]

a dlaczego w wyniku nie ma tez x=(pi/2 + pi/4) +kpi w koncu przeciez x = x0 + 2kπ
lub x = π − x0 + 2kπ,

powinna byc druga seria

i czemu bierzemy pod uwage sin2x=-1 a cos x = -1 nie?

dlatego, że Wilkołak zwinął całe wyrażenie \(\displaystyle{ 2sinxcosx}\) w \(\displaystyle{ sin2x}\) i już tam żadnego cosinusa nie ma.

[chopin]

dla jakich wartosci parametru m istnieja rozwiazania rownania: \(\displaystyle{ \sin 3x - \sin (\pi/3 - 3x) = m}\)

ze wzoru na roznice sinusow wyszlo mi : \(\displaystyle{ 2 \cos \pi/3 \sin (3x-\pi/6) = m}\)

i co dalej?

[Calasilyar]

\(\displaystyle{ 2 \cos \pi/3 \sin (3x-\pi/6) = m \\
2 \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (3x-\pi/6) = m
\sqrt{3} sin(3x-\pi/6) = m\\
-1\leq sin(3x-\pi/6) q 1\\
-\sqrt{3}\leq \sqrt{3}sin(3x-\pi/6) q \sqrt{3}\\
m\in }\)

[chopin]

w odp. jest podany wynik \(\displaystyle{ m\in }\)

EDIT:
ale tam jest chyba blad bo widze ze odp jest do nastepnego pdpkt, a w tym nastpenym pdpkt wlasnie mi wychodzi \(\displaystyle{ m\in }\) wiec pewnie kolejnosc jest pomylona

[Calasilyar]

zedytowałem posta, bo tam dałem rozwiązanie ogólne, a tutaj mamy jedną wartośc znaną, więc można przedział uściślic.