Trygonometria- zadania z treścią, wzory redukcyjne

[natashion]

Jest to mój pierwszy post na forum, takze Witam wszystkich.
Potrzebuję wskazówek jak rozwązac te zadania, dostałam ich ponad 20 i na te niestety nie mam pomysłu .
Poziom- 1 klasa LO.

1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są miarami kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \beta=\frac{6}{5}}\), oblicz wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha }{\cos \beta } + \tg ^{-1} \beta}\)

2. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \left( \tg 120^\circ + \sin 60^\circ \right) ^{2}}\)
3. Oblicz wartość wyrażenia: a) \(\displaystyle{ \log _{8} \sin 30^\circ + \log_\frac{1}{9} \left( \tg ^{2} 60^\circ \right)}\)
b) \(\displaystyle{ \left( \sin ^{2} 25^\circ + \sin ^{2} 65^\circ \right) \cdot \left( \sin 25^\circ + \cos 115^\circ \right) .}\)

4 W prostokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątne mają długość \(\displaystyle{ 8}\) i przecinają się pod takim kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \cos \alpha = 0,25}\). Oblicz:
a) odległość wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) od przekątnej \(\displaystyle{ AC}\)
b) tangens kąta nachylenia przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) do boku \(\displaystyle{ AB}\).

5. 1. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 0,3}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym, to \(\displaystyle{ \left( \tg \alpha + \frac{1}{\tg \alpha } \right) ^{2} =11 \frac{1}{9}}\) .

Mam jeszcze 3 zadania z grafikami, jednak teraz nie mam dostępu do skanera. Spróbuję przerysować to w programie graficznym.

[piasek101]

1) Podnieś pierwsze stronami do kwadratu; w drugim wykonaj działania

2) W zasadzie tylko podstawiać.

[edit] W 3. był tangens 60; a jedna dziewiąta to podstawa logarytmu.

Ps. Robiłem to ostatnio (I klasa) - podaj treść - ,,grafiki" sobie przypomnę.

[wujomaro]

W pierwszym wykorzytaj fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90^{\circ}}\) to \(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \beta}\)

Pozdrawiam!

[arcan]

\(\displaystyle{ \log _{8} \sin 30^\circ + \log _\frac{1}{9} \left( \tg ^{2} 60^\circ \right)
=\log _{8} \frac{1}{2}+\log _\frac{1}{9}3=- \frac{1}{3}-2=-2 \frac{1}{3}}\)

[natashion]

Przepraszam za popełnione błędy dot. zapisu.
Dziękuję Wam za pomoc. Zaraz postaram się rozwiązac według wskazówek

-- 22 maja 2013, o 16:22 --

Mam jeszcze pytania do 1, przepraszma, że zadaje ich aż tyle ale ten dział okazał się dla mnie kłopotliwym.

Aby podniesć do kwadratu muszę korzystać z jedynki trygonometrycznej?
Jak to odwrócić aby znać wartość cosinusa alfa?
Jak obliczyć tą potęgę na minusie?

PS. Usunięto moje skany, to jak mogę wstawić grafikę z tych zadań?

[piasek101]

Możesz wstawić skany - ale na nich same rysunki zostaw.

Pisałem - napisz treść zadań rysunki sobie przypomnę.

[natashion]

Zadania z treścią

1. Na rysunku obok przedstawiony jest czworokąt ABCD, w którym \(\displaystyle{ \left| DC\right| =\left| AC\right| =a}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\)= \(\displaystyle{ a \sqrt{3}}\). Przekątna AC tworzy z bokiem AD kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha}\), zaś z bokiem CB kąt ostry \(\displaystyle{ \beta}\) oraz AC i DC , AC i AB są do siebie prostopadłe. Jaką wartość ma wyrażenie \(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \beta}\)

2. W trójkącie rozwartokątnym ABC dane są \(\displaystyle{ \left| AC\right|=4}\), KĄT acb= 150, ORAZ \(\displaystyle{ TG \alpha = \frac{1}{3}}\). Oblicz długosć wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka B.

I mam jeszcze jedno, jednak bez żadnego rysunku.
3. Sprawdż czy dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, 90\right) \cup \left( 90, 180 \right)}\)prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha - 1} - \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha + 1}= - \frac{2}{\cos \alpha }}\) oraz oblicz wartość danego wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha -1}- \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha = 120}\)

[Rafal_Apr]

3. a) Robisz wspólny mianownik. W mianowniku z jedynki trygonometrycznej dostaniesz \(\displaystyle{ -cos^2 \alpha}\) W liczniku musisz wyłączyć cosinusa przed nawias i Ci wyjdzie.

b) Wiesz chyba co się dzieje z funkcjami trygonometrycznymi dla kątów \(\displaystyle{ \pi- \frac{\pi}{3}}\) itd.?

[piasek101]

1) Trójkąt ACD jest równoramienny i prostokątny - zatem \(\displaystyle{ \alpha = ...}\).

Trójkąt ABC ma kąty 30;60;90 (np z tangensa beta) - zatem...

2) Poprowadź szukaną wysokość.
Zobacz (nowy) trójkąt o kątach 30;60;90, do tego dany tangens.