kolejna tożsamość trygonometryczna

[nudnyimbecyl]

Udowodnij tożsamość:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2 \pi }{7} + \cos \frac{4 \pi }{7} + \cos \frac{6 \pi }{7} = -\frac{1}{2}}\)
1:0 dla równości... (Aktualność prośby pozostaje niezakwestionowana...)

[bakala12]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \cos \frac{ 2\pi }{7}+\cos \frac{ 4\pi }{7}+\cos \frac{6 \pi }{7}=\cos \frac{4 \pi }{7}+2\cos \frac{ 4\pi }{7}\cos \frac{ 2\pi }{7}=\cos \frac{ 4\pi }{7}\left( 2\cos \frac{ 2\pi }{7}+1\right)=\cos \frac{ 4\pi }{7}\left( 4\cos ^{2} \frac{ \pi }{7}-1\right) = \frac{\cos \frac{ 4\pi }{7}\sin \frac{ 3\pi }{7}}{\sin \frac{ \pi }{7}} =- \frac{2\sin \frac{ 3\pi }{7}\cos \frac{ 3\pi }{7}}{2\sin \frac{ \pi }{7}}=- \frac{\sin \frac{ 6\pi }{7}}{2\sin \frac{ \pi }{7}}= -\frac{1}{2}}\)

Nie taki diabeł straszny ... 2:1 dla mnie

[nudnyimbecyl]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \cos \frac{ 2\pi }{7}+\cos \frac{ 4\pi }{7}+\cos \frac{6 \pi }{7}=\cos \frac{4 \pi }{7}+2\cos \frac{ 4\pi }{7}\cos \frac{ 2\pi }{7}=\cos \frac{ 4\pi }{7}\left( 2\cos \frac{ 2\pi }{7}+1\right)=\cos \frac{ 4\pi }{7}\left( 4\cos ^{2} \frac{ \pi }{7}-1\right) = \frac{\cos \frac{ 4\pi }{7}\sin \frac{ 3\pi }{7}}{\sin \frac{ \pi }{7}} =- \frac{2\sin \frac{ 3\pi }{7}\cos \frac{ 3\pi }{7}}{2\sin \frac{ \pi }{7}}=- \frac{\sin \frac{ 6\pi }{7}}{2\sin \frac{ \pi }{7}}= -\frac{1}{2}}\)

Nie taki diabeł straszny ... 2:1 dla mnie

Jako że mój intelekt jest wyjątkowo stępiały, pozostaje mi zadać takie oto pytanie:
skąd pochodzi przekształcenie
\(\displaystyle{ \cos \frac{ 4\pi }{7}\left( 4\cos ^{2} \frac{ \pi }{7}-1\right) = \frac{\cos \frac{ 4\pi }{7}\sin \frac{ 3\pi }{7}}{\sin \frac{ \pi }{7}}}\)
?

[bakala12]

nudnyimbecyl, to wzór na \(\displaystyle{ \sin3x}\) tylko trochę przekształcony.
\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin x \left( 4 \cos ^{2}x -1\right)}\)

[nudnyimbecyl]

Faktycznie. Czas dodać do tabliczki wzorów...