Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
karpiuch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: karpiuch »

Witam, jestem w 3 gimnazjum, ale zaczynamy już funkcje trygonometryczne.. Mam problem z pewnym zadaniem i obliczeniem:
Wiedząc, że \(\displaystyle{ tg \alpha= \frac{4}{5}}\) oblicz pozostałe wartości funkcji tryg.

Proszę rozwiązać lub wytłumaczyć układami równań, bo takimi na razie się w szkole uczymy sposobami..

Z góry dzięki
Awatar użytkownika
Vether
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 408
Rejestracja: 22 kwie 2013, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 114 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: Vether »

\(\displaystyle{ \tg \aplha= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \frac{4}{5}}\)

Skąd:

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{4}{c}}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{5}{c}}\)

Korzystając z jedynki trygonometrycznej mamy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{4}{c}\right)^2+ \left( \frac{5}{c}\right)^2=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{41}{c^2}=1}\)

\(\displaystyle{ c= \sqrt{41}}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{4}{ \sqrt{41} }}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{5}{ \sqrt{41} }}\)
Sambard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 2 mar 2013, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 14 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: Sambard »

Vether, rozwiązaniem jest też para \(\displaystyle{ \sin \alpha=- \frac{4}{ \sqrt{41} }}\) i \(\displaystyle{ \cos \alpha=- \frac{5}{ \sqrt{41} }}\).
karpiuch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: karpiuch »

A mógłby ktoś mi to rozwiązać sposobem układów równań? Nie wiem jak się to fachowo nazywa, ale chodzi o

\(\displaystyle{ \begin{cases} sin \alpha ^{2} + cos \alpha ^{2} = 1\\ \frac{cos \alpha }{sin \alpha } = \frac{5}{4} \end{cases}}\)
Sambard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 2 mar 2013, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 14 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: Sambard »

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{4}{5} \\ \begin{cases} \sin \alpha=\frac{4}{5} \cos \alpha \\ \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1 \end{cases} \\ \frac{16}{25} \cos^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \\ \cos^{2} \alpha=\frac{25}{41}}\)
Ostatnio zmieniony 18 maja 2013, o 23:33 przez Sambard, łącznie zmieniany 2 razy.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: Dilectus »

Tylko nie zostawiajcie niewymierności w mianowniku...
karpiuch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: karpiuch »

Czyli \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{5 \sqrt{41} }{41} sin \alpha = \frac{4 \sqrt{41} }{41}}\)
Sambard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 2 mar 2013, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 14 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: Sambard »

Tak jak mówiłem wcześniej są 2 rozwiązania, bo para liczb przeciwnych do tych też da nam\(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{4}{5}}\).
karpiuch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: karpiuch »

Żeby już nie zakładać kolejnego tematu to mam problem z: \(\displaystyle{ \frac{cos \alpha}{sin \alpha \cdot sin \alpha } = \frac{ctg \alpha }{sin \alpha }}\) Jakim sposobem tu tak wychodzi..
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: ares41 »

Dilectus pisze:Tylko nie zostawiajcie niewymierności w mianowniku...
A to dlaczego ? To tylko schemat bezmyślnie uczony w szkołach. Było to konieczne w czasach, gdy nie znano komputerów i kalkulatorów i wyniki szacowano przez rozwijanie w szereg lub jakimiś innymi metodami. Dzisiaj nie ma żadnego praktycznego powodu usuwania niewymierności z mianownika.
karpiuch pisze:Żeby już nie zakładać kolejnego tematu to mam problem z: \(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \sin \alpha } = \frac{\ctg \alpha }{\sin \alpha }}\) Jakim sposobem tu tak wychodzi..
Zauważ, że \(\displaystyle{ \ctg{\alpha}= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)
Kacper20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 344
Rejestracja: 14 lut 2013, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nisko
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 52 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: Kacper20 »

Na dobrą sprawę - jeśli jesteś w gimnazjum to zapewne nie masz żadnego profilu i rozszerzonej matematyki i rozważacie tylko funkcje kąta ostrego. Więc rozwiązania ujemne nie wchodzą w grę. Tak samo jak na podstawie w liceum. Chyba, że jest inaczej
karpiuch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: karpiuch »

Wiem o tym, więc to tak jakby pierwszy sinus dzieli się z cosinusem, a drugi zostaje? Coś na tej zasadzie?
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: ares41 »

karpiuch, tak, właśnie o to chodzi.
karpiuch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 249
Rejestracja: 18 maja 2013, o 22:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 3 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: karpiuch »

Następne pytanko.. Jeśli mam: \(\displaystyle{ \frac{cos ^{2} \alpha}{sin \alpha } + sin \alpha}\) to muszę sprowadzić to do wspólnego mianownika, czyli tak jakby \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha \cdot sin \alpha }{1 \cdot sin \alpha }}\) tak?
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Wiedząc, że oblicz pozostałe funkcje tryg.

Post autor: wujomaro »

Pomnóż drugi składnik, czyli \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) przez \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}}\). Tak, dobrze mówisz.
Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ