dowód niewymierności

[megi1115]

udowodnij, że \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \cos 1^{\circ}}\) jest niewymierne.
Z góry dziękuje!

[Majeskas]

Nie wiem jakimi środkami dysponujemy. Najprostsze, co mi przychodzi do głowy, to tak:
Załóżmy przeciwnie, że obie liczby są wymierne. Znane są wartości funkcji trygonometrycznych kątów \(\displaystyle{ 15^\circ}\) i \(\displaystyle{ 18^\circ}\). Można zatem wyliczyć \(\displaystyle{ \sin3^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos3^\circ}\) i obie liczby są niewymierne. I to już jest sprzeczność z założeniem, bo gdyby \(\displaystyle{ \sin1^\circ,\cos1^\circ\in\mathbb{Q}}\), wobec wzorów na sinus i cosinus potrojonego kąta mielibyśmy

\(\displaystyle{ -4\sin^31^\circ+3\sin1^\circ=\sin3^\circ\in\mathbb{Q}}\)

\(\displaystyle{ 4\cos^31^\circ-3\cos1^\circ=\cos3^\circ\in\mathbb{Q}}\).

[megi1115]

Dzięki za pomoc
ja wychodziłam z założenia nie wprost, że \(\displaystyle{ \sin 1^{\circ}}\) jest liczba wymierną, wtedy \(\displaystyle{ \sin^{2} 1^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ \cos^{2} 1^{\circ}}\) też by były. Czyli na mocy wzoru cosiniusa kąta podwójnego również \(\displaystyle{ \cos 2^{\circ}, \cos 4^{\circ}, \cos 8^{\circ}, \cos 16^{\circ}, \cos 32^{\circ}, \sin ^{2} 2...}\)
Tylko, że nie wiem jak przedstawić, że \(\displaystyle{ \sin 2}\) też jest wymierną co mi by.łoby potrzebne do dalszego rozwiązania...

[Majeskas]

Niestety to nas prowadzi donikąd, bo nie jesteśmy w stanie wyznaczyć za pomocą pierwiastników żadnej funkcji kąta typu \(\displaystyle{ (2^k)^\circ}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\).

[yorgin]

Nie wiem jakimi środkami dysponujemy. Najprostsze, co mi przychodzi do głowy, to tak:
Załóżmy przeciwnie, że obie liczby są wymierne. Znane są wartości funkcji trygonometrycznych kątów \(\displaystyle{ 15^\circ}\) i \(\displaystyle{ 18^\circ}\). Można zatem wyliczyć \(\displaystyle{ \sin3^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos3^\circ}\) i obie liczby są niewymierne. I to już jest sprzeczność z założeniem, bo gdyby \(\displaystyle{ \sin1^\circ,\cos1^\circ\in\mathbb{Q}}\), wobec wzorów na sinus i cosinus potrojonego kąta mielibyśmy

\(\displaystyle{ -4\sin^31^\circ+3\sin1^\circ=\sin3^\circ\in\mathbb{Q}}\)

\(\displaystyle{ 4\cos^31^\circ-3\cos1^\circ=\cos3^\circ\in\mathbb{Q}}\).

Tą metodą wykazujesz, że przynajmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ \cos 1^o, \sin 1^o}\) jest niewymierna. Nie wiesz, która. Nie wiesz, czy obie.

[Majeskas]

Nie bardzo. Może niedostatecznie jasno się wyraziłem, ale po prostu równolegle przeprowadziłem takie same rozumowania dla \(\displaystyle{ \sin1^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos1^\circ}\).

[sstanko]

dowód nie wprost

1. załóżmy że \(\displaystyle{ \sin 1^\circ}\) - liczba wymierna

wtedy ze wzoru

\(\displaystyle{ \sin(3x)=3 \sin x -4 \sin^3x}\)

mamy że \(\displaystyle{ \sin(3),\sin(9),\sin(27),\sin(81)}\) - wymierne.

a wtedy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} = \sin(18)=2 \sin(9)\cos(9) =2 \sin(9)\sin(81)}\) jest liczbą wymierną. Sprzeczność.


2. załóżmy że \(\displaystyle{ \cos 1^\circ}\) - liczba wymierna

wtedy ze wzoru

\(\displaystyle{ \cos(3x)=4 \cos^3x-3 \cos x}\)

mamy że \(\displaystyle{ \cos(3),\cos(9),\cos(27),\cos(81)}\) - wymierne.

a wtedy \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} = \sin(18)=2 \sin(9)\cos(9) =2 \cos(81)\cos(9)}\) jest liczbą wymierną. Sprzeczność.

[megi1115]

a skąd jest to rozwinięcię \(\displaystyle{ \cos (3x)}\)?

[sstanko]

Funkcje wielokrotności kątów:

... 85t.C3.B3w

[Majeskas]

Wzory na wielokrotności kątów dla sinusa i cosinusa wyprowadza się ze wzoru de Moivre'a. A jeśli chciałoby się uniknąć liczb zespolonych, można to zrobić szkolną metodą znając wzór na cosinus i sinus sumy. np.
\(\displaystyle{ \cos3x=\cos(x+2x)=\ldots}\)
i ogólnie mamy rekurencje
\(\displaystyle{ \cos nx=\cos(x+(n-1)x)}\)
\(\displaystyle{ \sin nx=\sin(x+(n-1)x)}\)