Witajcie!
Mam problem z takim oto zadaniem:
Wyznacz wszystkie liczby \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\), dla których \(\displaystyle{ \tan(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \tan(2x)}\) są liczbami całkowitymi.
Z góry dzięki za pomoc.
Całkowite wartości tangensów
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Całkowite wartości tangensów
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \tan x\in \ZZ}\) to kiedy powyższy ułamek jest liczbą całkowitą?
\(\displaystyle{ \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \tan x\in \ZZ}\) to kiedy powyższy ułamek jest liczbą całkowitą?
-
schleswig
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 13 mar 2011, o 18:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 10 razy
Całkowite wartości tangensów
Kiedy istnieje takie \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}}\) takie że
\(\displaystyle{ a \cdot (1 - \tan^{2}x) = 2\tan x \\
a(1 - \tan x)(1 + \tan x) = 2\tan x}\)
Tylko dalej nie mam pomysłu, jak to rozwiązać...
\(\displaystyle{ a \cdot (1 - \tan^{2}x) = 2\tan x \\
a(1 - \tan x)(1 + \tan x) = 2\tan x}\)
Tylko dalej nie mam pomysłu, jak to rozwiązać...
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Całkowite wartości tangensów
Lepiej oznacz sobie \(\displaystyle{ a=\tan x}\) - to będzie liczba całkowita.
Teraz trzeba spojrzeć na ułamek
\(\displaystyle{ \frac{2a}{1-a^2}}\)
i poszukać wśród nich liczb całkowitych. Jeśli \(\displaystyle{ |1-a^2|>|2a|>0}\) to liczba na pewno nie może być całkowita. Wystarczy więc szukać wśród takich \(\displaystyle{ a}\) dla których \(\displaystyle{ |1-a^2|\leq |2a|}\) co sprowadzi się do zaledwie kilku przypadków.
Teraz trzeba spojrzeć na ułamek
\(\displaystyle{ \frac{2a}{1-a^2}}\)
i poszukać wśród nich liczb całkowitych. Jeśli \(\displaystyle{ |1-a^2|>|2a|>0}\) to liczba na pewno nie może być całkowita. Wystarczy więc szukać wśród takich \(\displaystyle{ a}\) dla których \(\displaystyle{ |1-a^2|\leq |2a|}\) co sprowadzi się do zaledwie kilku przypadków.