Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych.

[Pietrzak93]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ tg x = -5}\) i\(\displaystyle{ x \in ( \frac{\pi}{2}, \pi )}\) oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych.

Jak się za to zabrać?

[patryk00714]

skoro \(\displaystyle{ x \in (\frac{\pi}{2},\pi )}\) to kąt należy do drugiej ćwiartki, gdzie tlko dodatni jest sinus. Pozostałe funkcje są ujemne.

mamy \(\displaystyle{ tgx=-5}\)

zatem \(\displaystyle{ \frac{sinx}{cosx}=-5}\), a stąd wynika, że \(\displaystyle{ sinx=-5cosx}\)

i teraz podstawiamy do jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\) i mamy \(\displaystyle{ 25cos^2x+cos^2x=1}\)

stąd \(\displaystyle{ cos^2x=\frac{1}{26}}\), czyli \(\displaystyle{ cosx=-\frac{\sqrt{26}}{26}}\)

\(\displaystyle{ sinx=\frac{5\sqrt{26}}{26}}\)

natomiast \(\displaystyle{ ctgx=\frac{1}{tgx}=-\frac{1}{5}}\)