Jak zabrać się za:
\(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1- \tg x} = 2 \cos ^2 x - 1}\)
Równość trygonometryczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 216
- Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Równość trygonometryczna.
Najprościej ja się da. Zapisać \(\displaystyle{ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}\), sprowadzić do wspólnego mianownika i po drodze jeszcze jedynka trygonometryczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 216
- Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
Równość trygonometryczna.
Doszedłem do momentu
\(\displaystyle{ 0 = -\sin(\sin x + \cos x)}\)
Dobrze?
\(\displaystyle{ 0 = -\sin(\sin x + \cos x)}\)
Dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Równość trygonometryczna.
Może tak: najpierw lewą stronę
\(\displaystyle{ L=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin x}{\cos x}}=
\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}}\)
Po prawej mam
\(\displaystyle{ P=2\cos^2x-1=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x-\sin x}=\cos x-\sin x}\)
\(\displaystyle{ 1=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ 0=-2\sin x\cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0\vee \cos x=0}\)
No i tu rozwiązania są natychmiastowe.
Pominąłem dziedzinę (tzn. \(\displaystyle{ \tan x\neq1}\)), ale nie będzie ona miała wpływu na rozwiązania.
No i jeszcze drobiazg - gdy \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) to równanie jest spełnione (ale to pojawia się przy dzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x+\sin x}\)
\(\displaystyle{ L=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin x}{\cos x}}=
\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}}\)
Po prawej mam
\(\displaystyle{ P=2\cos^2x-1=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x-\sin x}=\cos x-\sin x}\)
\(\displaystyle{ 1=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ 0=-2\sin x\cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0\vee \cos x=0}\)
No i tu rozwiązania są natychmiastowe.
Pominąłem dziedzinę (tzn. \(\displaystyle{ \tan x\neq1}\)), ale nie będzie ona miała wpływu na rozwiązania.
No i jeszcze drobiazg - gdy \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) to równanie jest spełnione (ale to pojawia się przy dzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x+\sin x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 10 lis 2012, o 12:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
Równość trygonometryczna.
Dziedzina: \(\displaystyle{ (\cos x \neq 0) \wedge (1-\tg x \neq 0)}\)
\(\displaystyle{ \cos^2{x}= \frac{1}{1+\tg^2{x}}}\), a więc mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1-\tg x} =\frac{2}{1+\tg^2 x} -1 =\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}}\)
po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\tg x}\):
\(\displaystyle{ \frac{1+t}{1-t}=\frac{1-t^2}{1+t^2}}\)
po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{2t(t+1)}{(1-t)(1+t^2)}=0}\)
co daje nam rozwiązania:
\(\displaystyle{ (t=0) \vee (t=-1)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (\tg x=0) \vee (\tg x=-1)}\)
a więc odpowiedź:
\(\displaystyle{ (x= \pi n) \vee (x= - \frac{ \pi }{4} + \pi n)}\)
\(\displaystyle{ \cos^2{x}= \frac{1}{1+\tg^2{x}}}\), a więc mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1-\tg x} =\frac{2}{1+\tg^2 x} -1 =\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}}\)
po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\tg x}\):
\(\displaystyle{ \frac{1+t}{1-t}=\frac{1-t^2}{1+t^2}}\)
po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{2t(t+1)}{(1-t)(1+t^2)}=0}\)
co daje nam rozwiązania:
\(\displaystyle{ (t=0) \vee (t=-1)}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (\tg x=0) \vee (\tg x=-1)}\)
a więc odpowiedź:
\(\displaystyle{ (x= \pi n) \vee (x= - \frac{ \pi }{4} + \pi n)}\)