Równość trygonometryczna.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Pietrzak93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 216
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: Pietrzak93 »

Jak zabrać się za:

\(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1- \tg x} = 2 \cos ^2 x - 1}\)
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: chris_f »

Najprościej ja się da. Zapisać \(\displaystyle{ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}\), sprowadzić do wspólnego mianownika i po drodze jeszcze jedynka trygonometryczna.
Pietrzak93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 216
Rejestracja: 10 lut 2013, o 22:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: Pietrzak93 »

Doszedłem do momentu

\(\displaystyle{ 0 = -\sin(\sin x + \cos x)}\)

Dobrze?
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: Dilectus »

Sorry, rąbnąłem się i musiałem wycofać post...
Ostatnio zmieniony 8 maja 2013, o 22:33 przez Dilectus, łącznie zmieniany 1 raz.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: chris_f »

Może tak: najpierw lewą stronę
\(\displaystyle{ L=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin x}{\cos x}}=
\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}}\)

Po prawej mam
\(\displaystyle{ P=2\cos^2x-1=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x-\sin x}=\cos x-\sin x}\)
\(\displaystyle{ 1=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ 0=-2\sin x\cos x}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0\vee \cos x=0}\)
No i tu rozwiązania są natychmiastowe.
Pominąłem dziedzinę (tzn. \(\displaystyle{ \tan x\neq1}\)), ale nie będzie ona miała wpływu na rozwiązania.
No i jeszcze drobiazg - gdy \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) to równanie jest spełnione (ale to pojawia się przy dzieleniu obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x+\sin x}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: piasek101 »

Ale do dziedziny to dużo więcej trzeba brać pod uwagę.
sstanko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2012, o 12:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 5 razy

Równość trygonometryczna.

Post autor: sstanko »

Dziedzina: \(\displaystyle{ (\cos x \neq 0) \wedge (1-\tg x \neq 0)}\)

\(\displaystyle{ \cos^2{x}= \frac{1}{1+\tg^2{x}}}\), a więc mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1-\tg x} =\frac{2}{1+\tg^2 x} -1 =\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}}\)

po podstawieniu \(\displaystyle{ t=\tg x}\):

\(\displaystyle{ \frac{1+t}{1-t}=\frac{1-t^2}{1+t^2}}\)

po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ \frac{2t(t+1)}{(1-t)(1+t^2)}=0}\)

co daje nam rozwiązania:

\(\displaystyle{ (t=0) \vee (t=-1)}\)

czyli:

\(\displaystyle{ (\tg x=0) \vee (\tg x=-1)}\)

a więc odpowiedź:

\(\displaystyle{ (x= \pi n) \vee (x= - \frac{ \pi }{4} + \pi n)}\)
ODPOWIEDZ