sprowadzenie do postaci iloczynowej

[platynamen]

Mam takie zadanie do zrobienia. Sprowadzić do postaci iloczynowej \(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha}\). Doszedłem do tego:

\(\displaystyle{ 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin ^3 \alpha =\\= 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \left( 1 - \cos ^2 \alpha \right) =\\= 3\sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos ^2 \alpha =\\= 4 \sin \alpha \cos ^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \cos \alpha \left(\sin \alpha \cos \alpha + \frac{1}{2}\sin \alpha \right)}\)

ale co dalej to nie wiem

[cosinus90]

Moim zdaniem tak może być, w końcu masz już iloczyn. Ja nawet bym tyle nie przekształcał tylko od razu wyłączył sinusa przed nawias i tyle.

[Msciwoj]

Możesz jeszcze wyłączyć \(\displaystyle{ \sin x}\) przed nawias i skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x = \sin 2x}\).

[dawid.barracuda]

Ja mam takie coś:
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin (\alpha + 2 \alpha) = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos 2 \alpha + \cos \alpha \sin 2 \alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos 2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha = \\ = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \sin(2 \cos^2 \alpha - 1) + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha = \\ = \sin \alpha \left( 1+ 2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha - 1 + 2 \cos^2 \alpha\right) = \\ = \sin \alpha \left( 4 \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \right) = \\ = 2 \sin \alpha \cos \alpha \left( 2 \cos \alpha + 1 = \sin 2 \alpha \left( 2 \cos \alpha + 1 \right) \right)}\)

[cosinus90]

No tak, sposobów zrealizowania polecenia w zadaniu jest dość dużo.

[platynamen]

IMO w postaci iloczynowej nie może występować znak +/- pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

[cosinus90]

No to z postaci końcowej wyłącz sobie jeszcze sinusa z nawiasu.

[platynamen]

No ale cały problem w tym, że pozostanie \(\displaystyle{ \cos \alpha + \frac{1}{2}}\)

[cosinus90]

No tak, ale tutaj nie ma znaku plus ani minus pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tylko między funkcją trygonometryczną a liczbą.

[platynamen]

Ale ta liczba to funkcja trygonometryczna jakiegoś kąta.

[cosinus90]

No bez przesady, to tylko liczba. Przykładowo spójrz sobie na postać iloczynową np. trójmianu kwadratowego, tam też występują liczby w nawiasach.

[Msciwoj]

Jak nie chcesz mieć tej sumy to możesz jeszcze zrobić tak:

\(\displaystyle{ \cos{x} + \frac{1}{2} = \cos{x} + \cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cos{\frac{3x +\pi}{6}} \cos{\frac{3x - \pi}{6}}}\).

Ale moim zdaniem to już niepotrzebna komplikacja.