równanie trygonometryczne
-
sauron33
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 19 sty 2013, o 15:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: zmc
- Podziękował: 16 razy
równanie trygonometryczne
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{6}tg{x}sinx=1-sin^{2}x}\) dla \(\displaystyle{ x \epsilon (0,2 \pi)}\)
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}tg{x}sinx=1-sin^{2}x}\)
Zauważ jedynkę trygonometryczną po prawej
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\tg{x} \sin{x}=\cos{x}^{2}}\)
no i dalej
\(\displaystyle{ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \sin{x}=6 \cos{x}^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}^2=6\cos{x}^3}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos{x}^2=6\cos{x}^3}\)
\(\displaystyle{ 6\cos{x}^3+\cos{x}^2-1=0}\)
Podstaw \(\displaystyle{ t=\cos{x}}\)
No i dalej jak wielomian
\(\displaystyle{ 6t^3+t^2-1=0}\)
Zgadnij, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest \(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\)
i dzieląc go przez \(\displaystyle{ t- \frac{1}{2}}\), rozłóż na czynniki
* \(\displaystyle{ (t- \frac{1}{2}) (6t^2+4t+2)=0}\)
Jak widać \(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\) jest to jedyny pierwiastek wielomianu * (bo delta trójmianu kwadratowego jest mniejsza od zera)
Wróć do starych zmiennych i dokończ, pamiętając, że \(\displaystyle{ x \in (0, 2 \pi)}\)
Zauważ jedynkę trygonometryczną po prawej
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\tg{x} \sin{x}=\cos{x}^{2}}\)
no i dalej
\(\displaystyle{ \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \sin{x}=6 \cos{x}^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin{x}^2=6\cos{x}^3}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos{x}^2=6\cos{x}^3}\)
\(\displaystyle{ 6\cos{x}^3+\cos{x}^2-1=0}\)
Podstaw \(\displaystyle{ t=\cos{x}}\)
No i dalej jak wielomian
\(\displaystyle{ 6t^3+t^2-1=0}\)
Zgadnij, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest \(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\)
i dzieląc go przez \(\displaystyle{ t- \frac{1}{2}}\), rozłóż na czynniki
* \(\displaystyle{ (t- \frac{1}{2}) (6t^2+4t+2)=0}\)
Jak widać \(\displaystyle{ t= \frac{1}{2}}\) jest to jedyny pierwiastek wielomianu * (bo delta trójmianu kwadratowego jest mniejsza od zera)
Wróć do starych zmiennych i dokończ, pamiętając, że \(\displaystyle{ x \in (0, 2 \pi)}\)