uproszczenie wyrażenia

platynamen · Post autor: **platynamen** » 3 maja 2013, o 20:13

Mam do rozwiązania takie oto zadanie. Uprościć wyrażenie
\(\displaystyle{ 4 \arctan \left( \frac{1}{5} \right) - \arctan \left( \frac{1}{139} \right)}\)
wiem, że powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), ale nie wiem jak do tego dojść.
Edit:
Powinno być
\(\displaystyle{ 4 \arctan \left( \frac{1}{5} \right) - \arctan \left( \frac{1}{239} \right)}\)

radwaw · Post autor: **radwaw** » 3 maja 2013, o 21:11

wolfram rzecze FALSE

}+
ight%29+-+arctan+left%28+frac{1}{139}+
ight%29+%3D+pi%2F4

platynamen · Post autor: **platynamen** » 3 maja 2013, o 21:22

A jakiś dowód nienumeryczny?

Msciwoj · Post autor: **Msciwoj** » 3 maja 2013, o 22:11

Spróbuj potraktować całe wyrażenie jako argument funkcji tangens, skorzystaj z wzoru na tangens różnicy, a potem dwa razy podwojonego kąta. Po przekształceniach powinien wyjść niezły potworek, ale funkcje odwrotne się zjedzą i zostanie jakaś liczba. Policz tę liczbę. Powinna wyjść równa \(\displaystyle{ 1}\). A jak wyjdzie jakaś inna, to arkus tangensem ją.

EDYTA: Ktoś prawdopodobnie się gdzieś omylił o cyferkę, bo wynik tego, co zaproponowałem wychodzi \(\displaystyle{ \frac{16561}{16661}}\), czyli bardzo blisko jedynki, ale jednak nie.

EDYTA II: Gdyby zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{139}}\) wstawić \(\displaystyle{ \frac{1}{239}}\), to wychodzi co trzeba.

radwaw · Post autor: **radwaw** » 3 maja 2013, o 22:34

Wolframem zawsze pomacać potem myśleć