Wyznacz zbiór wartości funkcji

[reaperdie]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ y = 2 \cos x - \cos 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in <0; 2 \pi >}\)

Mam \(\displaystyle{ y = 2 \cos x - 2 \cos ^{2}x - 1}\) i podstawiając t nic mi nie wychodzi.

[vannorden]

Na szybko odpowiadając; powinieneś mieć \(\displaystyle{ + 1}\) zamiast \(\displaystyle{ -1}\).

\(\displaystyle{ -\cos 2x = -2\cos ^2x + 1}\)

[lukasz1804]

Zauważ, że dla \(\displaystyle{ x\in\langle 0,2\pi\rangle}\) mamy \(\displaystyle{ t=\cos x\in\langle -1,1\rangle}\).

Trzeba zatem wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ y=-2t^2+2t+1}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ \langle -1,1\rangle}\). Sprawdź, czy odcięta wierzchołka paraboli należy do tego przedziału - jeśli tak, oblicz wartość funkcji kwadratowej dla odciętej wierzchołka (tj. rzędną wierzchołka). Oblicz też wartości tej funkcji na końcach przedziału.

Z otrzymanych trzech (bądź dwóch, jeśli odcięta wierzchołka nie należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle -1,1\rangle}\)) wartości funkcji wybierz najmniejszą i największą liczbę. Przedział od mniejszej do większej z nich stanowi zbiór wartości wyjściowej funkcji.

[reaperdie]

Mam \(\displaystyle{ f\left( 1\right) = 1}\)
\(\displaystyle{ f\left( -1\right) = -3}\)

oraz odciętą równą \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) i nie wiem jak sprawdzić czy należy ona do przedziału

[lukasz1804]

Odcięta wierzchołka wynosi \(\displaystyle{ -\frac{2}{2\cdot(-2)}=\frac{1}{2}}\), więc należy do przedziału \(\displaystyle{ \langle -1,1\rangle}\). Rzędna wierzchołka, czyli \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{2}\right)}\), wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\).
Wybieramy zatem najmniejszą i największą z liczb \(\displaystyle{ 1,-3,\frac{3}{2}}\) i tworzymy przedział \(\displaystyle{ \left\langle -3,\frac{3}{2}\right\rangle}\) będący zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ y=2\cos x-\cos 2x}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ \langle 0,2\pi\rangle}\).