Równanie trygonometryczne

[Johny94]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \tg x+\tg ^2x+\tg ^3x+...=\sin x+\cos x}\)

[MadJack]

Zauważ, że po lewej stronie masz szereg geometryczny. Kiedy jest on zbieżny?

[Johny94]

Prawdę mówiąc nie za bardzo wiem, teorii za bardzo nie mam opanowanej, może ktoś wytłumaczy, a co do przykładu, to już chyba wiem:
-wzór na szereg geometryczny
-mnożę przez mianownik
-wzór skróconego mnożenia
-mam funkcję kwadratową
- i wychodzi.

[MadJack]

Tak, ale żeby zastosować wzór na szereg geometryczny, musisz sprawdzić, kiedy jest on zbieżny. Jak będzie wyglądał warunek zbieżności w przypadku wyrażenia po lewej stronie?

[Dilectus]

Szereg geometryczny

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1}}\)

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\)

Wówczas mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1}=\frac{a}{1-q}}\)

U nas \(\displaystyle{ a= \tg x}\) i \(\displaystyle{ q= \tg x}\)

Skoro to wiesz, to powiedz, dla jakich wartości x mamy \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\)

podstaw odpowiednie wzory do równania i rozwiąż je... -- 29 kwi 2013, o 12:21 --Chodzi o równanie
\(\displaystyle{ \frac{\tg x}{1-\tg x} = \sin x + cos x}\)

przy założeniu, że

\(\displaystyle{ \left| \tg x\right| <1}\)