Równanie do kontroli.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie równanie do rozwiązania:

\(\displaystyle{ 2^{4 \cos^2 x + 1} + 16 \cdot 2^{4 \sin ^2 x -3} = 20}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)

I proszę o sprawdzenie poprawności. Najpierw przekształcam do tej postaci:
\(\displaystyle{ 2^{-4 \sin ^2 x} \cdot 2^5 + 2^{4 \sin ^2 x} \cdot 2 = 20}\) Podstawiam: \(\displaystyle{ 2^{4 \sin ^2 x} = t, t>0}\)

Wychodzi zatem:
\(\displaystyle{ \frac{2^5}{t} + 2t = 20 \Rightarrow t^2 - 10t + 16 = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ 2;8\right\}}\)

Wracam do podstawienia:
\(\displaystyle{ 2^{4 \sin^2 x} = 2 \vee 2^{4 \sin^2 x} = 2^3}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2} \vee \sin^2 x = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin x = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).

Odrzucam ujemne rozwiązania i na podstawie wykresu sinusa mam rozwiązania: \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{6}; \frac{ \pi }{3}; \frac{2 \pi }{3}; \frac{5 \pi }{6} \right\}}\).

Ja błędu nie widzę, ale kumplowi wyszło inaczej a nie mamy odpowiedzi do zadania, bo to kserówka. Proszę uprzejmie o sprawdzenie i pozdrawiam.

[cosinus90]

OK, jest dobrze. Ja nie widzę błędów. Jak koledze wyszło ?

[dawid.barracuda]

Bo szukam rozwiązań w przedziale od zera do pi, a w sinusie w tym przedziale funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

[cosinus90]

Już wyedytowałem posta bo sam zauważyłem jak koledze wyszło ?

[dawid.barracuda]

Ano widzę właśnie Kumplowi wyszło \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)

[cosinus90]

Oj nie nie, na pewno to równanie ma 4 rozwiązania. I jestem przekonany że takie, jak Tobie wyszły.
Może niech kolega Tobie przedstawi swój sposób, na pewno gdzieś ma błąd.

[dawid.barracuda]

Okej, dzięki za pomoc Wysłałem mu linka, będzie analizował. Pozdrawiam!