błąd w rozwiązaniu zadania

[JacekPL]

Witam, specjalnie dla tego posta założyłem konto na tym forum, z góry dziękuję za szybką odpowiedź albowiem nie będę mógł zasnąć, aż nie dowiem się gdzie popełniam błąd. Proszę wybaczyć, że w zapisie pominąłem \(\displaystyle{ \alpha}\) ale nigdy wcześniej nieużywałem LaTeX, a zwiększona komplikacja zapisu mi wszystko bardzo utrudnia.

Zadanie o następującej treści:

Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie:


\(\displaystyle{ \frac{1- \tg ^{2} }{1+\tg ^{2}}=m}\)

Zajęcie się lewą stroną równania prowadzi do wyrażenia postaci:

\(\displaystyle{ \left(1- \frac{\sin ^{2} }{\cos ^{2} } \right):\left(1+ \frac{\sin ^{2} }{\cos ^{2} } \right)}\)



I dalej (wykonując odejmowanie lub mnożenie, w liczniku mogę zostawić sin albo zastosować jedynkę trygonometryczną co prowadzi do dwóch możliwych równań:

\(\displaystyle{ \left( \frac{\cos ^{2} -\sin ^{2} }{\cos ^{2} } \right):\left( \frac{\sin ^{2} +\cos ^{2} }{\cos ^{2} } \right)}\)

Co znaczy, że \(\displaystyle{ m=\cos \left(2 \alpha \right)}\)

Jeżeli natomiast za \(\displaystyle{ -\sin ^{2}}\) w pierwszym nawiasie podstawię \(\displaystyle{ \cos ^{2} -1}\)

Otrzymam wyrażenie


\(\displaystyle{ \left( \frac{\cos ^{2} +\cos ^{2} -1 }{\cos ^{2} } \right):\left( \frac{1}{\cos ^{2} } \right)}\)

Co znaczy, że \(\displaystyle{ m=2\cos ^{2} -1}\)

W pierwszym wypadku \(\displaystyle{ m \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)

W drugim natomiast \(\displaystyle{ m \in \left\langle -3;1\right\rangle}\)

Oczywiście drugie rozwiązanie jest błędne, problem jedynie w tym, że nie wiem co zrobiłem źle, z góry uprzejmie dziękuję za wskazanie błędu.

[Tmkk]

W drugim natomiast \(\displaystyle{ m \in \left\langle -3;1\right\rangle}\)

Nie. Jak do tego dochodzisz?

Poza tym największy błąd to jest chyba w nazwie tematu...

[JacekPL]

Skoro \(\displaystyle{ \sin ^{2} \in \left\langle -1;1\right\rangle}\) To cała lewa strona \(\displaystyle{ L \in \left\langle 2 \cdot (-1)-1 ;2 \cdot 1-1\right\rangle}\)

[Tmkk]

A dla jakich argumentów \(\displaystyle{ sin^2x in left[ -1; 0)}\) ?

[JacekPL]

Okej, już rozumiem, dzięki wielkie. Przeoczyłem ten fakt. ;( Czuję się głupszy niż mój nick wskazuje.