Tożsamość trygonometryczna

[Qybar]

Sprawdź następującą tożsamość:

\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sin \alpha+\tg \alpha}{\frac{1}{\sin \alpha}+\ctg \alpha}\right] ^{2}= \frac{\sin ^{2}\alpha+\tg ^{2}\alpha}{\frac{1}{\sin ^{2}\alpha}+\ctg ^{2}\alpha}}\)

Byłbym z góry wdzięczny za pomoc, bo za nic nie mogę doprowadzić lewej strony do prawej.

[Kartezjusz]

A czy zamiast sinusa miał być cosinus?

[Qybar]

Przykład wyciągnąłem prosto ze zbioru i wszystko jest na swoim miejscu. I Wolfram Alpha potwierdził, że tożsamość jest w takiej formie prawdziwa.

[Qń]

Łatwo można pokazać, że obie strony są równe \(\displaystyle{ \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}}\).

Q.

[p2310]

\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sin \alpha+\tg \alpha}{\frac{1}{\sin \alpha}+\ctg \alpha}\right] ^{2}= \frac{\sin ^{2}\alpha+\tg ^{2}\alpha}{\frac{1}{\sin ^{2}\alpha}+\ctg ^{2}\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sin \alpha+ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } }{\frac{1}{\sin \alpha}+ \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } }\right] ^{2}= \frac{\sin ^{2}\alpha+ \frac{\sin ^{2} \alpha }{\cos ^{2} \alpha } }{\frac{1}{\sin ^{2}\alpha}+ \frac{\cos ^{2} \alpha }{\sin ^{2} \alpha } }}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{ \frac{\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha}{\cos \alpha } }{\frac{1 + \cos \alpha }{\sin \alpha}}\right] ^{2}= \frac{ \frac{\sin ^{2} \alpha (1 + \cos ^{2} \alpha ) }{\cos ^{2} \alpha } }{ \frac{1+ \cos ^{2} \alpha }{\sin ^{2} \alpha } }}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sin ^{2} \alpha }{\cos \alpha } \right] ^{2} = \frac{\sin ^{4} \alpha }{\cos ^{2} \alpha }}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)