sinus kąta ujemnego

[brtk122]

Witam. Mam takie pytanie. Wiem, że \(\displaystyle{ \sin (180 ^{o}- \alpha) = \sin \alpha}\), ale dlaczego.
Jeśli zastosujemy wzór redukcyjny, to jeśli \(\displaystyle{ 180 ^{o}}\) to parzysta wielokrotność kąta prostego, to nie zmieniamy na konfukcję, czyli zostanie \(\displaystyle{ \sin (- \alpha )}\) a z kolei wiadomo, że \(\displaystyle{ \sin (- \alpha )= -\sin \alpha}\)

Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, o co tu chodzi?

[mortan517]

\(\displaystyle{ \sin (- \alpha )= -\sin \alpha}\)

ten warunek wynika z nieparzystości funkcji \(\displaystyle{ \sin}\)

jeżeli chodzi o wzory redukcyjne to patrzymy na ćwiartki, widzimy, że to druga ćwiartka, a w drugiej ćwiartce sinus jest dodatni więc zostaje +, mamy parzystą wielokrotność więc nie zamieniamy na kofunkcję

[Spektralny]

Z definicji,

\(\displaystyle{ \sin \theta = \tfrac{y}{x}}\),

gdzie

AU

137.gif (1.73 KiB) Przejrzano 1441 razy

Zauważ, że \(\displaystyle{ -\theta}\) odpowiada kątowi który powstaje z \(\displaystyle{ \theta}\) przez odbicie lustrzane względem osi \(\displaystyle{ Ox}\). W mig odczytasz stąd, że

\(\displaystyle{ \sin(-\theta) = \tfrac{-y}{x} = -\tfrac{y}{x}=-\sin \theta}\).

Podobnie, możesz uargumentować związek

\(\displaystyle{ \sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta}\),

gdy uzmysłowisz sobie czym jest \(\displaystyle{ 180^\circ - \theta}\).

\(\displaystyle{ sin(- \alpha )= -sin \alpha}\)

ten warunek wynika z nieparzystości funkcji \(\displaystyle{ \sin}\)

jeżeli chodzi o wzory redukcyjne to patrzymy na ćwiartki, widzimy, że to druga ćwiartka, a w drugiej ćwiartce sinus jest dodatni więc zostaje +, mamy parzystą wielokrotność więc nie zamieniamy na kofunkcję

Zauważ, że pytanie dotyczyło tego dlaczego tak jest, a nie w jaki sposób to liczymy.

[Dilectus]

Patrzysz na wzór \(\displaystyle{ \sin (180 ^{o}- \alpha)}\) i stwierdzasz, że kąt jest z drugiej ćwiartki, parzysta wielokrotność \(\displaystyle{ 90 ^{o}}\), a więc funkcja nie ulega zamianie na kofunkcję, czyli zostaje sinus. Teraz przypominasz sobie nieśmiertelny wierszyk o ćwiartkach i funkcjach trygonometrycznych kątów z tych ćwiartek:

W pierwszej wszystkie są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.

I już wiesz wszystko o wzorach redukcyjnych...

[Spektralny]

Dilectus, ale to nie dowodzi dlaczego tak jest. To tylko mnemotechnika.

[Dilectus]

To prawda, Spektralny. Ale to mnemotechnika niezawodna. Stosuję ją z powodzeniem od ponad czterdziestu lat, kiedy to Pani od matematyki przekazała nam ją. Oczywiście najpierw przedstawiła nam rozumowanie, które podałeś...