równanie trygonometryczne

[tukanik]

Witam, Nieraz mamy narysować funkcję: \(\displaystyle{ \cos 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left( -\pi, \frac{3}{2}\pi\right\rangle}\) Rozwiąż nierówność w tym przedziale \(\displaystyle{ \cos 2x < \frac{1}{2}}\) Problem jest to \(\displaystyle{ 2x}\) w funkcji. W ogóle mam problem z tym dziedzinami, dlatego proszę, pomóżcie mi

[Anna-po-prostu]

Witam

Gdy mam wykres funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos x}\) i chcę narysować \(\displaystyle{ g \left( x \right) = \cos 2x}\), to tłumaczę sobie to tak: dla tych samych wartości \(\displaystyle{ y}\) wartości argumentów funkcji \(\displaystyle{ g}\) muszą być 2 razy mniejsze, czyli wykres \(\displaystyle{ g}\) będzie węższy niż wykres \(\displaystyle{ f}\) (wykres \(\displaystyle{ g}\) będzie przecinać oś \(\displaystyle{ x}\) 2 razy częściej niż wykres \(\displaystyle{ f}\)).
Jeśli dziedziną \(\displaystyle{ g}\) ma być zbiór \(\displaystyle{ \left( -\pi, \frac{3}{2}\pi\right\rangle}\), to dziedziną \(\displaystyle{ f}\) będzie zbiór \(\displaystyle{ \left( -2\pi, 3\pi\right\rangle}\).
Teraz mamy nierówność \(\displaystyle{ \cos 2x < \frac{1}{2}}\).
Gdy \(\displaystyle{ f \left( x \right) < \frac{1}{2}}\), to rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \right) , k \in C}\), ale \(\displaystyle{ x}\) ma należeć do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\), więc rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ \left( \frac{-5\pi}{3}, \frac{-\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right) \cup \left( \frac{7\pi}{3}, 3\pi \right)}\). Ale w tej nierówności zamiast \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ g \left( x \right) = \cos 2x}\), więc ostatecznym rozwiązaniem jest zbiór z wartościami 2 razy mniejszymi, czyli \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{-5\pi}{6}, \frac{-\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} \right)}\).

Mam nadzieję, że pomogłam