Definicja liczby pi

[Hassgesang]

Czytam właśnie skrypt, a raczej listę pytań kontrolnych do skryptu z analizy i nie potrafię odpowiedzieć na jedno pytanie:

Dlaczego \(\displaystyle{ \pi}\) zostało zdefiniowane jako najmniejsze dodatnie miejsce zerowe funkcji cosinus, a nie przez związek między promieniem a obwodem/polem powierzchnii koła o tym promieniu?

[yorgin]

Zdajesz sobie sprawę z tego, że nikt Ci nie odpowie sensownie na to pytanie, dopóki nie będą mieli wglądu w skrypt?

[Hassgesang]

, plik chklst.pdf.

Znalazłem coś takiego:

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Co po przetłumaczeniu daje:

W analizie matematycznej wskazane jest, najpierw zdefiniować kosinus przez jego rozwinięcie w szereg Taylora, a następnie oznaczyć przez \(\displaystyle{ \pi}\) podwojone najmniejsze miejsce zerowe (kosinusa).

Ale dlaczego to się robi? Matematycy nie lubią geometrii euklidesowej (obwód) i całek oznaczonych (pole koła)?

[yorgin]

Matematycy lubią całki.

Zapewne chodzi tu o to, by podejść do definicji liczby \(\displaystyle{ \pi}\) przy użyciu narzędzi analitycznych "nieskomplikowanych". Przez szereg Taylora odwołuje się tylko do pochodnej, całki zostają na boku. Nie jest to bardzo wygodna definicja, jednak wspomniany przez Ciebie Landau robi z niej użytek.

Doskonale pamiętam, że widziałem właśnie taką definicję liczby \(\displaystyle{ \pi}\) za pomocą szeregu Taylora kosinusa. Było to w książce po polsku. Pamiętam też, że była tam przedstawiona motywacja dla tej definicji. Niestety tytułu ani autora nie pamiętam. Należałoby przejść do biblioteki i przejrzeć książki do analizy.

Być może ktoś inny będzie w stanie coś więcej podać.

[Hassgesang]

Przez całki miałem na myśli policzenie pola koła przez całkę z \(\displaystyle{ 2\sqrt{r^2-x^2}}\), po czym zdefiniowanie \(\displaystyle{ \pi}\) jako stosunek: otrzymanego pola i kwadratu długości promienia.

Wcześniej myślałem, że definicja: stosunek obwodu koła do długości jego promienia jest wystarczająca, ale jak widać można do problemu podejść "abstrakcyjnie".

W najbliższym czasie postaram się poszperać w bibliotece, gdybym coś znalazł - podzielę się informacjami, jednak inni użytkownicy też są mile widziani w tym wątku