Równanie trygonometryczne z parametrem

[Gastly1]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ \cos^{2} x - (m-2)\cos x -2m=0}\) ma rozwiązanie

[piasek101]

Po podstawieniu będzie kwadratowe; ma mieć rozwiązania (rozwiązanie) z przedziału ,,dobrego" dla cosinusa.

[Gastly1]

\(\displaystyle{ -1 < t_{1} \cdot t_{2} < 1}\)

\(\displaystyle{ -2 < t_{1} + t_{2} < 2}\)

Jak nie o to chodzi, to o co?

[piasek101]

Nie o to - bo jest sporo takich par co to spełnią, a nie będą z odpowiedniego przedziału.

Trzeba paraboli narzucić takie warunki aby jej miejsca zerowe (lub tylko jedno) znalazły się tam gdzie chcemy.

Odpowiednio ustawić wierzchołek i narzucić odpowiednie wartości dla 1 i (-1).

[Gastly1]

Zupełnie nie rozumiem tego zadania, jakie warunki trzeba obliczyć i dlaczego? Podpowiedzi mi racej nie pomogą, bo nie umiem sobie tego wyobrazić

[Kartezjusz]

Oczywiście \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) a poza tym
\(\displaystyle{ -1 \le x_{1} \le 1}\)
\(\displaystyle{ -1 \le x_{2} \le 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ (1-|x_{1}|)(1-|x_{2}|)>0}\)
trzeba usunąć oba większe od 1

[p2310]

\(\displaystyle{ \cos ^{2} x- (m-2) \cos x - 2m=0}\)
podstawiłam za \(\displaystyle{ \cos x = t}\)
założenie
\(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\)
\(\displaystyle{ t ^{2} - (m-2) t - 2m = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = m ^{2} +4m+4}\)
\(\displaystyle{ m ^{2} +4m+4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (m+2) ^{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ m \in R}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{(m-2)-(m+2)}{2} =-2}\)

\(\displaystyle{ t _{2} = \frac{(m-2)+(m+2)}{2} =-m}\)

pamiętając, że \(\displaystyle{ -1 \le t \le 1}\)

\(\displaystyle{ t _{1} = -2}\) nie należy do dziedziny

\(\displaystyle{ t _{2} = m}\) zatem \(\displaystyle{ -1 \le m \le 1}\)

\(\displaystyle{ m \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)

tak sobie myślę, ale na 100% nie jestem pewna

[Kartezjusz]

Tak zgadza się. Ja pomyślałem zbyt ogólnie,a tu pomogła bardzo szczególna delta.